4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=AC=AA₁=1，延長(zhǎng)A₁C₁至點(diǎn)P，使C₁P=A₁C₁，連結(jié)AP交棱CC₁于點(diǎn)D．求：
（1）直線PB₁與A₁B所成角的余弦值；
（2）二面角A-A₁D-B的平面角的正弦值．

3．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{a}&{1}\end{array}]$，若點(diǎn)P（1，1）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P′（0，-8）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求矩陣A的特征值．

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-alnx+x．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＜0，設(shè)g（x）=f（x）-x，h（x）=-2xlnx+2x，若對(duì)任意x₁，x₂∈[1，+∞）（x₁≠x₂），|g（x₂）-g（x₁）|≥|h（x₂）-h（x₁）|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

1．平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，設(shè)過點(diǎn)M（m，-2）（m≠0）的直線MA，MB與橢圓C分別交于點(diǎn)P，Q，求證：直線PQ必過一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

20．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別為DC，AB的中點(diǎn)，將△DAE沿AE知折起，使得二面角D-AE-B的大小為120°．
（1）求證：平面DCF⊥平面DCE；
（2）求二面角E-DC-A的余弦值．

19．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水尤為突出，某市為了制定合理的節(jié)水方案，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量，整理得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中a的值并估計(jì)樣本的眾數(shù)；
（2）該市計(jì)劃對(duì)居民生活用水試行階梯水價(jià)，即每位居民月用水量不超過ω噸的按2元/噸收費(fèi)，超過ω噸不超過2ω噸的部分按4元/噸收費(fèi)，超過2ω噸的部分按照10元/噸收費(fèi)．
①用樣本估計(jì)總體，為使75%以上居民在該月的用水價(jià)格不超過4元/噸，ω至少定為多少？
②假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)ω=2時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)．

18．若集合P={x|1≤log₂x＜2}，Q={1，2，3}，則P∩Q=（　�。�

A．

{1，2}

B．

{1}

C．

{2，3}

D．

{1，2，3}

17．已知偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是增函數(shù)，下列不等式一定成立的是（　�。�

A．

f（3）＞f（-2）

B．

f（-π）＞f（3）

C．

f（1）＞f（$\sqrt{2}$）

D．

f（a2+2）＞f（a2+1）

16．集合A中有3個(gè)元素，集合B中有2個(gè)元素，則映射f：A→B的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．

3個(gè)

B．

5個(gè)

C．

6個(gè)

D．

8個(gè)

15．“x≠2或y≠3”是“x+y≠5”的（　�。�

	A．	充分必要條件		B．	充分而不必要條件
	C．	必要而不充分條件		D．	既不充分也不必要條件