在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足

OC

=(m

OA

+n

OB

)，其中m，n∈R且m-2n=1．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓過原點，求證：

1

a2

-

1

b2

為定值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于

3

，求雙曲線實軸長的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n} 是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，S_n為其前n項和．
（1）若a₂，a₃，a₆依次成等比數(shù)列，求其公比q；
（2）若

OPn

=(n，

Sn

n

)(n∈N*)，求證：對任意的m，n∈N*，向量

PmPn

與向量

b

=(2，d)共線；
（3）若a₁=1，d=

1

2

，

OQn

=(

an

n

，

Sn

n2

)(n∈N*)，問是否存在一個半徑最小的圓，使得對任意的n∈N*，點Q_n都在這個圓內(nèi)或圓周上．

在股票市場上，投資者常參考股價（每一股的價格）的某條平滑均線（記作MA）的變化情況來決定買入或賣出股票．股民老王在研究股票的走勢圖時，發(fā)現(xiàn)一只股票的MA均線近期走得很有特點：如果按如圖所示的方式建立平面直角坐標系xoy，則股價y（元）和時間x的關(guān)系在ABC段可近似地用解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）來描述，從C點走到今天的D點，是震蕩筑底階段，而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標志，且D點和C點正好關(guān)于直線l：x=34對稱．老王預計這只股票未來的走勢如圖中虛線所示，這里DE段與ABC段關(guān)于直線l對稱，EF段是股價延續(xù)DE段的趨勢（規(guī)律）走到這波上升行情的最高點F．
現(xiàn)在老王決定取點A（0，22），點B（12，19），點D（44，16）來確定解析式中的常數(shù)a，b，ω，φ，并且已經(jīng)求得ω=

π

72

．
（1）請你幫老王算出a，b，φ，并回答股價什么時候見頂（即求F點的橫坐標）；
（2）老王如能在今天以D點處的價格買入該股票5000股，到見頂處F點的價格全部賣出，不計其它費用，這次操作他能賺多少元？

某高校的自主招生考試數(shù)學試卷共有8道選擇題，每個選擇題都給了4個選項（其中有且僅有一個是正確的）．評分標準規(guī)定：每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其中兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷其中一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這8道選擇題，試求：
（1）該考生得分為40分的概率；
（2）該考生所得分數(shù)ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

下面給出的四個命題中：
①對任意的n∈N*，點P_n（n，a_n）都在直線y=2x+1上是數(shù)列a_n為等差數(shù)列的充分不必要條件；
②“m=-2”是直線（m+2）x+my+1=0與“直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）與坐標軸有4個交點A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），則有x₁x₂-y₁y₂=0；
④將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數(shù)y=sin(2x-

π

6

)的圖象．
其中是真命題的有（將你認為正確的序號都填上）．

設(shè)(5x-

x

)n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開式中x³的系數(shù)為．

A、 π 6

B、 π 3

C、 6 6 π

D、 3 3 π

A、(2， 29 17 )

B、（0，1）

C、（0，4）

D、（1，+∞）

A、24

B、25

C、4

D、7