如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F．
（Ⅰ）求

BF

FC

的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S₁，四邊形CDEF的面積為S₂，求S₁：S₂的值．

已知函數(shù)f（x）=sinx-cosx，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=x₀處取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值；
（3）若g（x）=e^x（x∈r），求證：方程f（x）=g（x）在[0，+∞）內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，π≈3.14）

已知下列結(jié)論：①x₁、x₂都是正數(shù)?

x1+x2＞0 x1x2＞0

，②：x₁、x₂、x₃都是正數(shù)?

x1+x2+x3＞0 x1x2+x2x3+x3x1＞0 x1x2x3＞0

，

則由①②猜想：x₁、x₂、x₃、x₄都是正數(shù)?．

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程lg[

3

2

f（x-1）-

3

4

]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）；
（Ⅲ）設(shè)n∈Nⁿ，證明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥

1

6

．

過(guò)點(diǎn)C（0，1）的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0）、B（-a，0），過(guò)點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．
（I）當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：

OP

•

OQ

為定值．

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延長(zhǎng)A₁C₁至點(diǎn)P，使C₁P=A₁C₁，連接AP交棱CC₁于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值．

本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元每小時(shí)（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游．各租一車一次．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為

1

4

，

1

2

；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為

1

2

，

1

4

；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．
（Ⅰ）分別求出甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的概率．

如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是．