已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的

2

倍，且橢圓C經(jīng)過點M(2，

2

)．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過圓O：x2+y2=

8

3

上的任意一點作圓的一條切線l與橢圓C交于A、B兩點．求證：

OA

•

OB

為定值．

（2003•東城區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，且滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2，（n∈N），又a₅=11．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推測出{a_n}的通項公式（不要求證明）；
（Ⅱ）設(shè)b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求

lim

n→∞

Sn

Sn′

的值；
（Ⅲ）設(shè)C_n=

1

n(1+an)

（n∈N），T_n=C₁+C₂+…+C_n，是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意n∈N，均有T_n＞

m

32

？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

（2003•東城區(qū)二模）已知拋物線C₁：y²=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C₁的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為

2

，過拋物線C₁的焦點F作傾斜角為

π

4

的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C₁于一點Q（點Q在x軸下方）．
（Ⅰ）求點P和Q的坐標；
（Ⅱ）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標軸的雙曲線的方程；
（Ⅲ）設(shè)點A（t，0）（常數(shù)t＞4），當a在閉區(qū)間〔1，2〕內(nèi)變化時，求△APQ面積的最大值，并求相應a的值．

（2003•東城區(qū)二模）某城市為了改善交通狀況，需進行路網(wǎng)改造．已知原有道路a個標段（注：1個標段是指一定長度的機動車道），擬增建x個標段的新路和n個道路交叉口，n與x滿足關(guān)系n=ax+b，其中b為常數(shù)．設(shè)新建1個標段道路的平均造價為k萬元，新建1個道路交叉口的平均造價是新建1個標段道路的平均造價的β倍（β≥1），n越大，路網(wǎng)越通暢，記路網(wǎng)的堵塞率為μ，它與β的關(guān)系為μ=

1

2(1+β)

．
（Ⅰ）寫出新建道路交叉口的總造價y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式：
（Ⅱ）若要求路網(wǎng)的堵塞率介于5%與10%之間，而且新增道路標段為原有道路標段數(shù)的25%，求新建的x個標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比P的取值范圍；
（Ⅲ）當b=4時，在（Ⅱ）的假設(shè)下，要使路網(wǎng)最通暢，且造價比P最高時，問原有道路標段為多少個？

（2003•東城區(qū)二模）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為C₁D₁與AB的中點．
（Ⅰ）求異面直線BD₁，與CF所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A₁-FC-D的大�。�

（2003•東城區(qū)二模）已知sin2x+sin2x•sinx+cos2x=1，x∈(0，

π

2

)，求tg2x的值．

（2003•東城區(qū)二模）將三棱錐P-ABC（如圖甲）沿三條側(cè)棱剪開后，展開成如圖乙的形狀，其中P₁，B，P₂共線，P₂，C，P₃共線，且P₁P₂=P₂P₃，則在三棱錐P-ABC中，PA與BC所成的角的大小是．

（2003•東城區(qū)二模）圓錐的側(cè)面積為

2

3

π，側(cè)面展開圖的圓心角為

4

3

π，則此圓錐的體積為（　�。�

（2003•東城區(qū)二模）已知集合A=R，B=R⁺，f：A→B是從集合A到B的一個映射，若f：x→2x-1，則B中的元素3的原象為（　�。�

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），過其左焦點F₁（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-

1

2

=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．