已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b；等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b，公比為a，其中a，b∈N₊，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意n∈N^*，總存在m∈N^*，使a_m+3=b_n，求b的值；
（Ⅲ）甲說：一定存在b使得2an＞bn2對(duì)n∈N^*恒成立；乙說：一定存在b使得2an＜bn2對(duì)n∈N^*恒成立．你認(rèn)為他們的說法是否正確？為什么？

某工廠有一個(gè)容量為300噸的水塔，每天從早上6時(shí)起到晚上10時(shí)止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時(shí)間t（小時(shí)，且規(guī)定早上6時(shí)t=0）的函數(shù)關(guān)系為W=100

3

t

．水塔的進(jìn)水量分為10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高一級(jí)，每小時(shí)進(jìn)水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時(shí)打開進(jìn)水管，問進(jìn)水量選擇為第幾級(jí)時(shí)，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會(huì)使水溢出？

已知正項(xiàng)數(shù)列{ a_n }滿足S_n+S_n-1=

2 ta n

+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是數(shù)列{ a_n }的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＜2對(duì)所有的n∈N^*都成立．求證：0＜t≤1．

中心在原點(diǎn)的雙曲線C₁的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C₂：y²=8x的焦點(diǎn)F重合，拋物線C₂的準(zhǔn)線l與雙曲線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C₁的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)B（0，1）的直線m與雙曲線C₁相交于不同兩點(diǎn)M，N，且

.

MB

=λ

.

BN

．
①求直線m的斜率k的變化范圍；
②當(dāng)直線m的斜率不為0時(shí)，問在直線y=x上是否存在一定點(diǎn)C，使

.

OB

⊥（

.

CM

-λ

.

CN

）？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

設(shè)橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線為l，一條直線過點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使△ABP為等邊三角形，求直線AB的方程．

定義域均為R的奇函數(shù)f（x）與偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=10^x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)；
（Ⅲ）證明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）；
*（Ⅳ）試用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）與g（x₁+x₂）．