Question

7．在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)碾妶龊痛艌鰧崿F(xiàn)對帶電粒子運動的控制，如圖甲所示的xOy平面處于勻強電場和勻強磁場中，電場強度E和磁感應(yīng)強度B隨時間作周期性變化的圖象如圖乙所示，周期為7t₀，y軸正方向為E的正方向，垂直紙面向外為B的正方向，在t=0時刻從坐標(biāo)原點由靜止釋放一個質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子，當(dāng)B₀=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$時，粒子沿某軌道做周期性運動，圖中E₀、t₀已知，不計粒子的重力，試求：

（1）t₀時刻粒子位置的縱坐標(biāo)y₁及3t₀時刻粒子的速度大小v
（2）改變B₀的大小，仍要使粒子做周期性運動，B₀的可能取值；
（3）在（2）的情況下，粒子速度沿y軸負方向時橫坐標(biāo)x的可能值．

Answer 1

分析 （1）0-t₀內(nèi)粒子做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式列式求解t₀時刻粒子位置的縱坐標(biāo)y₁；t₀-2t₀時間內(nèi)粒子做圓周運動，根據(jù)半徑公式和周期公式確定運動，同理求出粒子在3t₀時刻的速度；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解軌道半徑，由圓周運動公式求得周期；
（3）粒子奇數(shù)秒內(nèi)做類似平拋運動，偶數(shù)秒內(nèi)做勻速圓周運動，軌道半徑逐漸增大，畫出軌跡．求出粒子速度沿y軸負方向時橫坐標(biāo)x的可能值．．

解答 解：（1）0-t₀內(nèi)粒子做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律得：
qE₀=ma
又：${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
所以：${y}_{1}=\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{2m}$
t₀-2t₀時間內(nèi)粒子做圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$q{v}_{1}{B}_{0}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
周期：$T=\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
將B₀=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$代入得：T=4t₀
所以在t₀-2t₀時間內(nèi)粒子運動$\frac{1}{4}$圓周，角度轉(zhuǎn)過90°，運動的方向與電場的方向垂直，則2t₀-3t₀時間內(nèi)粒子將做類平拋運動，t₀時刻粒子的速度：v₁=at₀
3t₀時刻粒子的沿電場方向的分速度：v_y=at₀
3t₀時刻粒子的速度：${v}_{3}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}a{t}_{0}=\frac{\sqrt{2}q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$
由于兩個方向的分速度大小相等，所以粒子速度的方向與+x方向和-y方向的夾角都是45°．
（2）在3t₀-4t₀時間內(nèi)粒子做圓周運動，粒子運動$\frac{1}{4}$圓周，角度轉(zhuǎn)過90°；
在4t₀-5t₀時間內(nèi)粒子在-x方向做勻速直線運動，在-y方向做勻減速直線運動，在t=5t₀時刻在y方向的分速度等于0，在5t₀-6t₀時間內(nèi)粒子做圓周運動，粒子運動$\frac{1}{4}$圓周，角度轉(zhuǎn)過90°，在6t₀時刻粒子運動到y(tǒng)軸，速度沿+y方向；
改變B₀的大小，若仍然要粒子做周期性的運動，則應(yīng)滿足：
${t}_{0}=（n+\frac{1}{4}）T$（n=0，1，2，3…）
聯(lián)立得：${B}_{0}=（n+\frac{1}{4}）\frac{2πm}{q{t}_{0}}$（n=0，1，2，3…）
（3）在t=t₀時刻進入磁場的粒子做勻速圓周運動，運動的速度為v₁，則：
v₁=at₀
$q{v}_{1}{B}_{0}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{r}$
粒子運動的軌跡如圖，結(jié)合（2）的分析可知，速度沿y軸負方向的位置有M、N、P點，M、N點對應(yīng)的坐標(biāo)：
x₁=2r
解得：${x}_{1}=\frac{4q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{πm（4n+1）}$（n=0，1，2，3…）
P點對應(yīng)的橫坐標(biāo)：${x}_{2}=r+{v}_{1}{t}_{0}+（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）r′$
由于：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r′}$
解得：${x}_{2}=[1+\frac{2\sqrt{2}}{π（4n+1）}]\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{m}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）t₀時刻粒子位置的縱坐標(biāo)是$\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{2m}$，3t₀時刻粒子的速度大小是$\frac{\sqrt{2}q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$；
（2）改變B₀的大小，仍要使粒子做周期性運動，B₀的可能取值為$（n+\frac{1}{4}）\frac{2πm}{q{t}_{0}}$（n=0，1，2，3…）；
（3）在（2）的情況下，粒子速度沿y軸負方向時橫坐標(biāo)x的可能值是${x}_{1}=\frac{4q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{πm（4n+1）}$（n=0，1，2，3…）或${x}_{2}=[1+\frac{2\sqrt{2}}{π（4n+1）}]\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{m}$（n=0，1，2，3…）．

點評 本題是帶電粒子在復(fù)合場中運動的問題，分析粒子的受力情況，確定其運動情況，關(guān)鍵是運用幾何知識求解坐標(biāo)．