Question

（2008?天津）在平面直角坐標系xOy中，第I象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第IV象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點與x軸正方向成60°角射入磁場，最后從y軸負半軸上的P點垂直于y軸射出磁場，如圖所示．不計粒子重力，求
（1）M、N兩點間的電勢差U_MN； 
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（3）粒子從M點運動到P點的總時間t．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場進入第一象限，粒子做類平拋運動，由到達N的速度方向可利用速度的合成與分解得知此時的速度，在應用動能定理即可求得電場中MN兩點間的電勢差．
（2）粒子以此速度進入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場中運動的半徑．
（3）粒子的運動分為兩部分，一是在第一象限內做類平拋運動，二是在第四象限內做勻速圓周運動，分段求出時間，相加可得總時間．

解答：解：
（1）粒子在第一象限內做類平拋運動，進入第四象限做勻速圓周運動．設粒子過N點的速度為v，有

v0

v

=cosθ
得：v=2v₀
粒子從M點到N點的過程，由動能定理有：
qUMN=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：UMN=

3m v 2 0

2q

（2）粒子在磁場中以O′為圓心做勻速圓周運動（如圖所示），半徑為O′N，有：
qvB=

mv2

r

解得：r=

2mv0

qB

（3）由幾何關系得：
ON=rsinθ
設粒子在電場中運動的時間為t₁，則有：
ON=v₀t₁
t1=

3 m

qB

粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為：
T=

2πm

qB

設粒子在磁場中運動的時間為t₂，有：
t2=

π-θ

2π

T
得：t2=

2πm

3qB

運動的總時間為：
t=t₁+t₂
即：t=

(3 3 +2π)m

3qB

答：（1）M、N兩點間的電勢差UMN為

3m v 2 0

2q

；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑為

2mv0

qB

；
（3）粒子從M點運動到P點的總時間為

(3 3 +2π)m

3qB

．

點評：該題考查了電場和磁場邊界問題，不同場的分界面上，既是一種運動的結束，又是另一種運動的開始，尋找相關物理量尤其重要．
粒子在電場中運動偏轉時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．
點粒子做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫出帶電粒子運動軌跡中任意兩點（一般是射入磁場和射出磁場的兩點）洛倫茲力的方向，其延長的交點即為圓心．或射入磁場和射出磁場的兩點間弦的垂直平分線與一半徑的交點即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎上用平面幾何知識求解，常常是解直角三角形．
運動時間的確定：利用圓心與弦切角的關系計算出粒子所轉過的圓心角θ的大小，用公式t=

θ

360

T可求出運動時間．
再者就是要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．