Question

14．如圖所示，在水平轉(zhuǎn)臺(tái)的光滑水平橫桿上穿有兩個(gè)質(zhì)量分別為2m和m的小球A和B，A、B間用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，彈簧的自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度ω繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果A、B仍能相對(duì)橫桿靜止而不碰左右兩壁，求：
（1）A、B兩球分別離開中心轉(zhuǎn)軸的距離．
（2）若轉(zhuǎn)臺(tái)的半徑也為L(zhǎng)，求角速度ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）兩球做圓周運(yùn)動(dòng)，角速度相等，靠彈簧的彈力提供向心力，根據(jù)向心力的關(guān)系結(jié)合胡克定律和牛頓第二定律求出距離中心的距離．
（2）抓住B的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑小于L，結(jié)合B離中心轉(zhuǎn)軸的距離表達(dá)式求出角速度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)A、B兩球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的半徑分別為r_A，r_B，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度為x
對(duì)A球：kx=2mω²r_A   
對(duì)B球：kx=mω²r_B
又 r_A+r_B=L+x
解得：${r}_{A}=\frac{kL}{3k-2m{ω}^{2}}$，${r}_{B}=\frac{2kL}{3k-2m{ω}^{2}}$
（2）要使兩球都不碰左右兩壁 則 r_B＜L
則$ω＜\sqrt{\frac{k}{2m}}$  
答：（1）A、B兩球分別離開中心轉(zhuǎn)軸的距離分別為$\frac{kL}{3k-2m{ω}^{2}}$和$\frac{2kL}{3k-2m{ω}^{2}}$．
（2）若轉(zhuǎn)臺(tái)的半徑也為L(zhǎng)，角速度ω的取值范圍為$ω＜\sqrt{\frac{k}{2m}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵兩球的角速度相等，靠彈力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律進(jìn)行求解．