Question

物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度叫做第一宇宙速度，地球自轉(zhuǎn)較慢可以忽略不計(jì)時(shí)，地表處的萬(wàn)有引力約等于重力，這些理論關(guān)系對(duì)于其它星體也成立．若已知某星球的質(zhì)量為M、半徑為R，在星球表面某一高度處自由下落一重物，經(jīng)過(guò)t時(shí)間落到星表面，不計(jì)星球自轉(zhuǎn)和空氣阻力，引力常量為G．試求：
（1）該星球的第一宇宙速度v；
（1）物體自由下落的高度h．

Answer 1

分析：1、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力

GMm

R2

=

mv2

R

，化簡(jiǎn)可得該星球的第一宇宙速度．
2、在星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力

GMm

R2

=mg，所以g=

GM

R2

，再根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移公式h=

1

2

gt2，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力

GMm

R2

=

mv2

R

得
v=

GM R

（2）設(shè)星球表面重力加速度為g，在星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力

GMm

R2

=mg，所以g=

GM

R2

有根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)有h=

1

2

gt2
解得h=

GMt2

2R2

．
答：（1）該星球的第一宇宙速度v為

GM R

；
（2）物體自由下落的高度h為

GMt2

2R2

．

點(diǎn)評(píng)：本題要掌握天體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)關(guān)系：萬(wàn)有引力提供向心力；星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力．并能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．