Question

7．設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，火星軌道半徑為地球軌道半徑的1.5倍．現(xiàn)從地球表面向火星發(fā)射火星探測器，發(fā)射過程分兩步，第一步：在地球表面用火箭對探測器加速，使它脫離地球引力成為一個沿地球軌道運(yùn)動的“星體”；第二步：在適當(dāng)時刻點(diǎn)燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機(jī)，在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使探測器沿半個橢圓軌道（該橢圓長軸兩端分別與地球公轉(zhuǎn)軌道及火星公轉(zhuǎn)軌道相切，如圖1所示）射到火星上．$\sqrt{5}$=2.2，$\sqrt{1.5}$=1.2，1年為365天．

（1）求火星公轉(zhuǎn)的周期為多少天（地球日）？
（2）求火星探測器沿橢圓軌道運(yùn)動到火星上經(jīng)歷的時間為多少天？
（3）當(dāng)探測器沿地球軌道穩(wěn)定運(yùn)動后，在某年5月1日零時，測得探測器與火星間的角距離為60°，如圖2所示，問應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測器的發(fā)動機(jī)，才能使探測器正好落在火星上？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)開普勒第三定律列式即可求解；
（2）探測器和地球都圍繞太陽運(yùn)動，設(shè)探測器的周期為t，地球周期為T₀．依據(jù)開普勒第三定律即可求解；
（3）為使探測器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時機(jī)點(diǎn)燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)，使得探測器沿橢圓軌道到達(dá)與火星軌道的相切點(diǎn)時，火星也恰好運(yùn)行到這一點(diǎn)．已知地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)開普勒第三定律求出火星的周期，根據(jù)半長軸的大小求出探測器在橢圓軌道上的周期，抓住探測器、火星轉(zhuǎn)動的角速度關(guān)系，結(jié)合轉(zhuǎn)動的角距離得出探測器和火星到達(dá)同一點(diǎn)經(jīng)歷的天數(shù)

解答 解：（1）根據(jù)開普勒第三定律得：
$\frac{{{r}_{地}}^{3}}{{{T}_{地}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{火}}^{3}}{{{T}_{火}}^{2}}$
因?yàn)閞_火=1.5r_地
解得：T_火=1.8T_地=1.8×365=657天，即火星公轉(zhuǎn)的周期為657天，
（2）探測器和地球都圍繞太陽運(yùn)動，設(shè)探測器的周期為t，地球周期為T₀．依據(jù)開普勒第三定律有：
$\frac{（\frac{{R}_{m}+{R}_{0}}{2}）^{3}}{{t}^{2}}=\frac{{{R}_{0}}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}}$，解得：t=$\frac{5\sqrt{5}}{8}年$=502天，
探測器的飛行時間${t}_{1}=\frac{t}{2}=251天$
（3））為使探測器沿橢圓軌道到達(dá)與火星軌道的相切點(diǎn)時，火星恰好運(yùn)行到這一點(diǎn)，必須選擇適當(dāng)時機(jī)點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)．
地球公轉(zhuǎn)的運(yùn)動周期T_d=365天
地球公轉(zhuǎn)的角速度 ${ω}_1afdb8p=\frac{360°}{365天}=0.968°/天$
火星公轉(zhuǎn)周期T_m=657天
火星公轉(zhuǎn)角速度ω_m=$\frac{360°}{657天}$=0.548°/天
探測器從點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)至到達(dá)火星所需時間為${t}_{1}=\frac{t}{2}=251天$
探測器運(yùn)行至火星的251天內(nèi)，火星運(yùn)行的角度為θ_m=ω_mt₁=0.548°/天×251天=137.5°
為了使探測器到達(dá)火星軌道時，正好射到火星上，那么探測器在橢圓軌道近日點(diǎn)點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)時，火星應(yīng)在其遠(yuǎn)日點(diǎn)的切點(diǎn)之前137.5°處，即探測器點(diǎn)燃發(fā)動機(jī)時，與火星的角度應(yīng)為180°-137.5°=42.5°
但是，已知某年3月1日零時探測器與火星的角距離為 60°（火星在前，探測器在后），為使其角度成為 42.5°，必須等待一段時間，設(shè)為t天，使二者達(dá)到角距離42.5°的合適位置．t 滿足60°-42.5°=（ω_d-ω_m）$t=\frac{60°-42.5°}{{ω}_6pv6853-{ω}_{m}}=\frac{17.5}{0.42}=42天$
因此點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)的時刻應(yīng)為當(dāng)年的 3月1日之后42天，即同年的 4月11日．
答：（1）火星公轉(zhuǎn)的周期為657天；
（2）火星探測器的飛行時間為251天；
（3）應(yīng)在同年的 4月11日點(diǎn)燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)方能使探測器恰好落在火星表面．

點(diǎn)評 本題主要考查了開普勒第三定律的應(yīng)用，知道為使探測器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時機(jī)點(diǎn)燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)，使得探測器沿橢圓軌道到達(dá)與火星軌道的相切點(diǎn)時，火星也恰好運(yùn)行到這一點(diǎn)，難度較大．