Question

如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面的夾角為α=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌處在垂直導(dǎo)軌平面斜向上的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．兩根電阻都為R=2Ω、質(zhì)量都為m=0.2kg的完全相同的細(xì)金屬棒ab和cd垂直導(dǎo)軌并排靠緊的放置在導(dǎo)軌上，與磁場(chǎng)上邊界距離為x=1.6m，有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)寬度為3x=4.8m．先將金屬棒ab由靜止釋放，金屬棒ab剛進(jìn)入磁場(chǎng)就恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)立即由靜止釋放金屬棒cd，金屬棒cd在出磁場(chǎng)前已做勻速運(yùn)動(dòng)．兩金屬棒在下滑過程中與導(dǎo)軌接觸始終良好（取重力加速度g=10m/s²）．求：
（1）金屬棒ab剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)棒中電流I；
（2）金屬棒cd在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中通過回路某一截面的電量q；
（3）兩根金屬棒全部通過磁場(chǎng)的過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）對(duì)導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)前過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解，得到進(jìn)入磁場(chǎng)的速度；然后根據(jù)平衡條件、安培力公式、切割公式、歐姆定律列式求解；
（2）金屬棒cd加速下滑過程，ab棒勻速運(yùn)動(dòng)，cd棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，兩根棒速度相同，故無(wú)感應(yīng)電流，不受安培力，一起加速；ab棒出磁場(chǎng)后，cd棒先減速后勻速，也可能一直減速；
（3）分第一根導(dǎo)體棒穿過磁場(chǎng)和第二個(gè)根導(dǎo)體棒穿過磁場(chǎng)過程（兩個(gè)導(dǎo)體棒都在磁場(chǎng)中時(shí)，兩個(gè)棒的速度相同，無(wú)感應(yīng)電流，無(wú)電熱）進(jìn)行討論，第二根離開磁場(chǎng)過程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理，得到：mgxsinα=

1

2

mv₁²，解得v₁═4m/s
此后棒勻速下滑，根據(jù)切割公式，有E=BLv₁
根據(jù)歐姆定律，有E=I×2R
根據(jù)安培力公式，有F=BIL
根據(jù)平衡條件，有：mgsinα=BIL
聯(lián)立得到：mgsinα=

B2L2v1

2R

解得：BL=1T?m 
又由于BIL=mgsinα，解得I=1A   
（2）設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₁，金屬棒cd也進(jìn)入磁場(chǎng)，其速度也為v₁，金屬棒cd在磁場(chǎng)外有x=

1

2

v₁?t₁，此時(shí)金屬棒ab在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)距離為：X=v₁t₁=2x，
兩棒都在磁場(chǎng)中時(shí)速度相同，無(wú)電流，金屬棒cd在磁場(chǎng)中而金屬棒ab已在磁場(chǎng)外時(shí)，cd棒中才有電流，cd棒加速運(yùn)動(dòng)的位移為2x；
電量為q=

△Φ

2R

=

B?2x?L

2R

=

BLx

R

=0.8(C)
（3）金屬棒ab在磁場(chǎng)中（金屬棒cd在磁場(chǎng)外）回路產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q₁=mgsinα×2x=3.2J 
金屬棒ab、金屬棒cd都在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路不產(chǎn)生焦耳熱．兩棒加速度均為gsinα，ab離開磁場(chǎng)時(shí)速度為v₂，v₂²-v₁²=2gxsinα，
解得v₂=

4gxsinα

=4

2

m/s；
金屬棒cd在磁場(chǎng)中（金屬棒ab在磁場(chǎng)外），金屬棒cd的初速度為v₂=4

2

m/s，末速度為

2gxsinα

=4m/s，由動(dòng)能定理：
mgsinα×2x-Q₂=

1

2

m（

2gxsinα

）²-

1

2

m（

4gxsinα

）²
Q₂=mgsinα×3x=4.8J（1分）
Q=Q₁+Q₂=mgsinα×5x=8J
答：（1）金屬棒ab剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)棒中電流I為1A；
（2）金屬棒cd在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中通過回路某一截面的電量q為0.8C；
（3）兩根金屬棒全部通過磁場(chǎng)的過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q為8J．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確兩個(gè)棒的運(yùn)動(dòng)過程，然后運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理、法拉第電磁感應(yīng)定律等列式求解．