Question

如圖，兩根足夠長(zhǎng)的光滑固定平行金屬導(dǎo)軌與水平面成θ角，導(dǎo)軌間距為d，兩導(dǎo)體棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為m、電阻都為R，回路中其余電阻不計(jì)．整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，在t=0時(shí)刻使a沿導(dǎo)軌向上作速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)將b由靜止釋放，b經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后也作勻速運(yùn)動(dòng)．已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30⁰，g取10m/s²，不計(jì)兩導(dǎo)棒間的相互作用力．
（1）若使導(dǎo)體棒b靜止在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒a向上運(yùn)動(dòng)的速度v多大？
（2）若a在平行于導(dǎo)軌向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿導(dǎo)軌向上勻速運(yùn)動(dòng)，試導(dǎo)出F與b的速率v₂的函數(shù)關(guān)系式并求出v₂的最大值；
（3）在（2）中，當(dāng)t=2s時(shí)，b的速度達(dá)到5.06m/s，2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為13.2J，求該2s內(nèi)力F做的功（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)歐姆定律和安培力及受力平衡求出a的速度；
（2）對(duì)b受力分析找到力與速度的關(guān)系式，并根據(jù)極限情況求出v₂的最大值；
（3）根據(jù)第二問(wèn)中的關(guān)系式進(jìn)行微分求和代入數(shù)值即可解得內(nèi)力F所做的功．

解答：解：（1）設(shè)a的速度為v₁，則電動(dòng)勢(shì)為：E=Bdv₁…①
電流為：I=

E

2R

…②
b受到的安培力為：F=BId…③
對(duì)b受力分析如圖，由平衡條件知：
F=mgsinθ…④
由①②③④式得：v₁=10m/s  
（2）設(shè)a的速度為v₁，b的速度為v₂，回路電流為I，
則：I=

E1+E2

2R

=

Bd(v1+v2)

2R

導(dǎo)體棒受到的安培力為：F′=B2d2(v1+v2)

1

2R

對(duì)a棒受力分析知：mgsinθ+B2d2(v1+v2)

1

2R

=F
代入數(shù)據(jù)得：F=3+

v2

4

（N）
設(shè)最大速度為v_m，對(duì)b棒受力分析知：

B2d2(v1+vm)

2R

=mgsinθ
數(shù)據(jù)得：v_m=8m/s 
（3）對(duì)b受力分析有：mgsinθ-F_A=ma  
解得：F_A=B2d2(v1+v2)

1

2R

即：mgsinθ-B2d2(v1+v2)

1

2R

=ma
用微元法計(jì)算b棒的位移，取任意無(wú)限小△t時(shí)間，b棒位移為v₂△t
對(duì)上式兩邊同乘以△t得：mgsinθ△t-B2d2(v1+v2)

1

2R

△t=ma△t 
代入數(shù)據(jù)并求和得：8t-x₂=2v₂ 
將t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂=5.88m  
a的位移為：：x₁=v₁t=2×2=4m
由功能關(guān)系知：W_F=

1

2

mv

2 2

+mgx₁sinθ-mgx₂sinθ+Q
代入數(shù)據(jù)得：W_F=14.9J   
答：（1）若使導(dǎo)體棒b靜止在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒a向上運(yùn)動(dòng)的速度為10m/s．
（2）a在平行于導(dǎo)軌向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿導(dǎo)軌向上勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)=3+

v2

4

（N），最大速度為8m/s．
（3）在（2）中，當(dāng)t=2s時(shí)，b的速度達(dá)到5.06m/s，2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為13.2J，求該2s內(nèi)力F做的功為14.9J．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用也要求比較高，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．