Question

兩根足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌平行固定在傾角為θ的斜面上，它們的間距為d．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場充滿整個(gè)空間、方向垂直于斜面向上．兩根金屬桿ab、cd的質(zhì)量分別為m和2m，垂直于導(dǎo)軌水平放置在導(dǎo)軌上，如圖所示．設(shè)桿和導(dǎo)軌形成的回路總電阻為R而且保持不變，重力加速度為g．
（1）給ab桿一個(gè)方向沿斜面向上的初速度，同時(shí)對(duì)ab桿施加一平行于導(dǎo)軌方向的恒定拉力，結(jié)果cd桿恰好保持靜止而ab桿則保持勻速運(yùn)動(dòng)．求拉力做功的功率．
（2）若作用在ab桿的拉力與第（1）問相同，但兩根桿都是同時(shí)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求兩根桿達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的速度．

Answer 1

分析：（1）題中cd棒靜止，ab棒做勻速運(yùn)動(dòng)，兩棒的合力均為零．先對(duì)cd棒，由平衡條件求出安培力的大小，再對(duì)ab棒研究，抓住兩棒所受的安培力大小相等、方向相反，由平衡條件求出ab棒所受的恒定拉力，即可由P=Fv公式求出拉力做功的功率．
（2）開始時(shí)ab桿所受合力沿斜面向上，因此沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，而cd桿所受合力沿斜面向下，因此沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，隨著速度的增大，安培力也逐漸增大，最后兩桿同時(shí)達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．由于兩桿組成的系統(tǒng)所受的外力合力為零，因此系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒列式可得到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)兩棒的速度關(guān)系，再對(duì)cd棒，由平衡條件列式，也得到兩棒速度關(guān)系，聯(lián)立即可求出兩棒的速度．

解答：解：（1）cd桿保持靜止，則桿所受安培力  F_B=IdB=2mgsinθ  ①
設(shè)ab桿所受的拉力為F，則對(duì)ab桿，有  F=mgsinθ+F_B ②
設(shè)ab桿的速度為v₀，則回路中的感應(yīng)電流  I=

Bdv0

R

  ③
拉力做功的功率   P=Fv₀
聯(lián)立解得拉力做功的功率P=(

mgsinθ

Bd

)2?6R ⑤
（2）開始時(shí)ab桿所受合力沿斜面向上，因此沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，而cd桿所受合力沿斜面向下，因此沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，隨著速度的增大，安培力也逐漸增大，最后兩桿同時(shí)達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．設(shè)ab桿和cd桿最后的速度大小分別為v₁、v₂，因?yàn)閮蓷U組成的系統(tǒng)所受的外力合力為零，因此系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取沿斜面向上為正方向，則  0=mv₁-2mv₂ ⑥
cd桿勻速運(yùn)動(dòng)，則桿所受安培力 I'dB=2mgsinθ   ⑦
回路中的電流  I′=

Bd(v1+v2)

R

⑧
聯(lián)立解得ab桿和cd桿達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的速度分別為  v1=

4mgRsinθ

3B2d2

（方向沿斜面向上）  ⑨
   v2=

2mgRsinθ

3B2d2

（方向沿斜面向下）    ⑩
答：
（1）拉力做功的功率為(

mgsinθ

Bd

)2?6R．
（2）ab桿達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的速度為

4mgRsinθ

3B2d2

方向沿斜面向上，cd桿達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的速度為

2mgRsinθ

3B2d2

方向沿斜面向下．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題是分析棒的運(yùn)動(dòng)過程，計(jì)算安培力是重要步驟．采用隔離法研究兩棒都平衡的問題．