Question

如圖1所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側(cè)空間中存在豎直向上場(chǎng)強(qiáng)大小為E=2.5×10²N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)（上、下及左側(cè)無(wú)界）。一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg、電量為q=2.0×10^-2 C的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球，在t=0時(shí)刻以大小為v₀的水平初速度向右通過(guò)電場(chǎng)中的一點(diǎn)P，當(dāng)t=t₁時(shí)刻在電場(chǎng)所在空間中加上一如圖2所示隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)，使得小球能豎直向下通過(guò)D點(diǎn)，D為電場(chǎng)中小球初速度方向上的一點(diǎn)，PD間距為L(zhǎng)，D到豎直面MN的距離DQ為L(zhǎng)/π。設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里為正。（g=10m/s²）
（1）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，使得小球能豎直向下通過(guò)D點(diǎn)，求磁場(chǎng)每一次作用時(shí)間t₀的最小值（用題中所給物理量的符號(hào)表示）；
（2）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，試推出滿足條件的時(shí)刻t₁的表達(dá)式（用題中所給物理量的符號(hào)表示）；
（3）若小球能始終在電磁場(chǎng)所在空間做周期性運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及運(yùn)動(dòng)的最大周期T的大小（用題中所給物理量的符號(hào)表示）。

Answer 1

解：（1）當(dāng)小球進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)：mg=Eq將做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在t₁時(shí)刻加入磁場(chǎng)，小球在時(shí)間t₀內(nèi)將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)周期為T₀；若豎直向下通過(guò)D點(diǎn)，由圖甲1分析可知必有以下：t₀=3T₀/4 =6πm/4qB₀  

（2）PF－PD=R，即：V₀t₁－L=R
qV₀B₀=mV₀²/qB₀
所以：V₀t₁－L=mV₀/qB₀
t₁=L/V₀+m/qB₀
（3）小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，T₀也增加，小球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的周期T增加，在小球不飛出電場(chǎng)的情況下，當(dāng)T最大時(shí)有：
DQ=2R，L/π=2mV₀/qB₀，B₀=2πmV₀/qL，T₀=2πR/V₀=2πm/qB₀=L/V₀  
由圖分析可知小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大周期：T=8×3T₀/4=6L/V₀
小球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲2所示