Question

2．第22屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，于2014年2月7日-2月23日在俄羅斯聯(lián)邦索契市舉行，來自各個國家和地區(qū)的冰雪健兒將向全世界展現(xiàn)冰雪運(yùn)動的魅力．滑雪運(yùn)動中，滑雪板與雪地之間的相互作用與滑雪速度有關(guān)，當(dāng)滑雪者的速度超過4m/s時，滑雪者與雪地間的動摩擦因素就會由μ₁=0.25變?yōu)棣?SUB>2=0.125，一滑雪者從傾角a=37°的坡頂A處由靜止開始自由下滑，滑至坡底B（B處為一光滑小圓弧）后又滑上一段水平雪地，到達(dá)C處后，恰好越過高度差h=1.8m，寬S=1.2m的壕溝落在D點(diǎn)．如圖所示．不計空氣阻力，水平雪地BC長98.4m，滑雪者與滑雪板總質(zhì)量M=69Kg，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）滑雪者在C點(diǎn)的速度；
（2）斜坡AB的長度；
（3）整個過程中滑雪者克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)動員從C點(diǎn)做平拋運(yùn)動，即可求得C點(diǎn)速度；
（2）在BC段分速度大于4m/s和小于4m/s兩端利用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求的B點(diǎn)速度，在AB段同樣分分速度大于4m/s和小于4m/s兩端利用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求位移
（3）根據(jù)動能定理即可求得摩擦力做功

解答 解：（1）在CD段滑雪者做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動知識 h=$\frac{1}{2}$gt²  解得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}s$=0.6s
則運(yùn)動員在C點(diǎn)速度V_C=$\frac{S}{t}$=$\frac{1.2}{0.6}m/s$=2m/s
（2）在BC段速度小于4m/s時的加速度a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g$=2.5m/s²，
速度大于4m/s時的加速度a₁=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g$=1.25m/s²
加速度為2.5m/s²時滑雪者滑行距離X₁=$\frac{{v}^{2}{-v}_{C}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{4}^{2}-{2}^{2}}{2×2.5}m$=2.4m
則加速度為1.25m/s²時滑雪者滑行距離X₂=96m
由此知滑雪者在B點(diǎn)的速度V_B=$\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{{4}^{2}+2×1.25×96}m/s$=16m/s
在AB段，速度大于等于4m/s時 a₃=g sin37°-μ₂gcos37°  解得a₃=5m/s²
速度小于4m/s時a₄=g sin37°-μ₁gcos37°  解得a₄=4m/s²
加速度為5m/s²時滑雪者滑行距離X₃=$\frac{{v}_{B}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=24m
加速度為4m/s²時滑雪者滑行距離X₄=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$=2m
則知斜坡AB的長為x_AB=x₃+x₄=26m
（3）斜坡AB的豎直高度h=$\frac{{x}_{AB}}{sin37°}$
由能量守恒知 W_f=mgh-$\frac{1}{2}$mv_c²=29762J．
答：（1）滑雪者在C點(diǎn)的速度2m/s；
（2）斜坡AB的長度為26m；
（3）整個過程中滑雪者克服摩擦力所做的功29762J

點(diǎn)評 本題綜合考查了牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動學(xué)的橋梁，通過加速度可以根據(jù)力求運(yùn)動，也可以根據(jù)運(yùn)動求力