Question

7．在科幻片《火星救援》中，馬特•達(dá)蒙飾演的宇航員經(jīng)歷了一場惡劣的風(fēng)暴后，與他的機(jī)組成員失聯(lián)，但他憑借豐富的科學(xué)知識和頑強(qiáng)的品格在火星上存活下來，并最終成功回到地球．假設(shè)宇航員登陸火星后，測得火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$．已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，他在地面上能向上豎直跳起的最大高度是h，忽略自轉(zhuǎn)的影響，下列說法正確的是（　�。�

• A． 火星的密度為$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度是$\frac{2g}{9}$
• C． 火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為$\frac{2}{3}$
• D． 宇航員以與在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能達(dá)到的最大高度是$\frac{9h}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量，從而求出火星的質(zhì)量，結(jié)合火星的體積求出火星的密度．根據(jù)萬有引力等于重力求出重力加速度之比，得出火星表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力提供向心力，

解答 解：A、根據(jù)$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，則火星的質(zhì)量$M′=\frac{g{R}^{2}}{9G}$，火星的半徑為$\frac{1}{2}R$，可知火星的體積V=$\frac{4}{3}π（\frac{1}{2}R）^{3}$=$\frac{1}{6}π{R}^{3}$，則火星的密度$ρ=\frac{M′}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{9G}}{\frac{1}{6}π{R}^{3}}$=$\frac{2g}{3πGR}$，故A正確．
B、根據(jù)g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$知，火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$．則火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$倍，即火星表面的重力加速度為$\frac{4}{9}g$，故B錯誤．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$．則火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{\frac{2}{9}}$，故C錯誤．
D、根據(jù)h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$知，初速度相同，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$倍，則上升的高度是地球上上升高度的$\frac{9}{4}$倍，故D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．