Question

15．甲、乙兩衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)沿同一方向繞地球做勻速圓周運動，某時刻兩衛(wèi)星位于地球兩側(cè)、并和地心在同一直線上，從此時刻起，經(jīng)過t時間，甲與地心連線和乙與地心連線第二次互相垂直，若甲衛(wèi)星做圓周運動的周期為T，地球的質(zhì)量為M，引力常量為G，則（　�。�

• A． 再經(jīng)t時間，甲、乙兩衛(wèi)星相距最近
• B． 甲衛(wèi)星做圓周運動的半徑為$\root{3}{\frac{4{π}^{2}}{GM{T}^{2}}}$
• C． 乙衛(wèi)星做圓周運動的周期$\frac{4Tt}{4t-T}$
• D． 乙衛(wèi)星做圓周運動的半徑$\frac{1}{4}$$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}（4t+3T）^{2}}{{π}^{2}{t}^{2}}}$

Answer 1

分析 甲、乙兩衛(wèi)星相距最近時，甲、乙兩衛(wèi)星和地心在同一直線上，且兩衛(wèi)星位于地球同側(cè)．根據(jù)萬有引力等于向心力，求甲衛(wèi)星做圓周運動的半徑．甲與地心連線和乙與地心連線第二次互相垂直時，甲比乙多轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$．由此列式求乙衛(wèi)星做圓周運動的周期，再由萬有引力等于向心力，求乙衛(wèi)星做圓周運動的半徑．

解答 解：A、經(jīng)過t時間，甲與地心連線和乙與地心連線第二次互相垂直，甲比乙多轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$．再經(jīng)t時間，甲比乙多轉(zhuǎn)π，兩衛(wèi)星相距最近．故A正確．
B、甲衛(wèi)星做圓周運動，由G$\frac{M{m}_{甲}}{{r}_{甲}^{2}}$=m_甲$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r_甲，得甲衛(wèi)星做圓周運動的半徑為 r_甲=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，故B錯誤．
C、根據(jù)$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{T}$t-$\frac{2π}{{T}_{乙}}$t，解得乙衛(wèi)星做圓周運動的周期為 T_乙=$\frac{4Tt}{4t-T}$，故C正確．
D、乙衛(wèi)星做圓周運動，由G$\frac{M{m}_{乙}}{{r}_{乙}^{2}}$=m_乙$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{乙}^{2}}$r_乙，解得乙衛(wèi)星做圓周運動的半徑為 r_乙=$\root{3}{\frac{4GM{T}^{2}{t}^{2}}{{π}^{2}（4t-T）^{2}}}$，故D錯誤．
故選：AC

點評 本題關(guān)鍵是明確兩個衛(wèi)星的動力學(xué)原理：萬有引力等于向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解周期之比，通過比較相對運動，找出運動規(guī)律進行分析兩衛(wèi)星的位置關(guān)系．