Question

5．如圖所示，水平放置的圓盤(pán)半徑為R=1m，在其邊緣C點(diǎn)固定一個(gè)高度不計(jì)的小桶，在圓盤(pán)直徑CD的正上方放置一條水平滑道AB，滑道AB與CD平行．滑道右端B與圓盤(pán)圓心O在同一豎直線上，其高度差為h=1.25m．在滑道左端靜止放置一質(zhì)量為m=0.4kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），物塊與滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2．當(dāng)用一大小為F=4N的水平向右拉力拉動(dòng)物塊的同時(shí)，圓盤(pán)從圖示位置以角速度ω=2π rad/s，繞盤(pán)心O在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，拉力作用一段時(shí)間后撤掉，物塊在滑道上繼續(xù)滑行，由B點(diǎn)水平拋出，恰好落入小桶內(nèi)．重力加速度g=10m/s²．求
（1）拉力作用的最短時(shí)間；
（2）若拉力作用時(shí)間為0.5s，滑塊會(huì)落入小桶嗎？若能，求所需滑道的長(zhǎng)度．
（3）物塊落入桶中后如果隨圓盤(pán)一起以ω=$\sqrt{\frac{15}{2}}$rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小桶給物塊的水平方向作用力大�。�

Answer 1

分析 （1）若圓盤(pán)轉(zhuǎn)一圈，物塊恰好調(diào)入小桶，此時(shí)作用力時(shí)間最短．圓盤(pán)轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間與勻加速運(yùn)動(dòng)、勻減速運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)三個(gè)時(shí)間之和相等．
（2）物塊離開(kāi)B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，可以求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，物塊在滑道上先勻加速運(yùn)動(dòng)再勻減速運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的位移之和為滑道的長(zhǎng)度．
（3）小桶水平方向給物塊的作用力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出水平方向的作用力，再由力的合成求解．

解答 解：（1）物塊由B點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向有：
h=$\frac{1}{2}$gt²
物塊離開(kāi)滑到的速度：v=$\frac{R}{t}$=2m/s
拉動(dòng)物塊時(shí)的加速度，由牛頓第二定律：F-μmg=ma₁
得：a₁=8m/s²，
圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)落入，拉力作用時(shí)間最短；盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)一圈的時(shí)間：
T=$\frac{2π}{ω}$=1s
物塊在滑道導(dǎo)航先加速后減速：v=a₁t₁-a₂t₂
物塊滑行時(shí)間、拋出在空中時(shí)間與圓盤(pán)周期關(guān)系：t₁+t₂+t=T
由上面兩式聯(lián)立得：t₁=0.3s
（2）拉力作用時(shí)間為0.5s＞0.3s，能落入小桶，
物塊加速獲得速度：v₁=a₁t=4m/s
滑塊撤去F滑行時(shí)間為：t′=$\frac{v-{v}_{0}}{{a}_{2}}$=1s
則板長(zhǎng)為：L=x₁+x₂=$\frac{1}{2}$a₁t₁²+$\frac{{v}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}$=4m
（3）小桶水平方向給物塊的作用力提供向心力，有：F_x=mω²R=0.4×$\frac{15}{2}$×1N=3N
豎直方向給物塊的作用力與重力等大反向，即為：F_y=4N，
則小桶給物塊的作用力：F=$\sqrt{{{F}_{x}}^{2}+{{F}_{y}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$N=5N；
答：
（1）拉力作用的最短時(shí)間為0.3s；
（2）若拉力作用時(shí)間為0.5s，能落入小桶，所需滑道的長(zhǎng)度為4m．
（3）小桶給物塊的作用力大小5N．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道物塊整個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)：勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻減速直線運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，知道三個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間相等．以及熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．