Question

已知地球半徑為R，引力常量為G，地球同步通信衛(wèi)星周期為T，它離地面的高度約為地球半徑的6倍．
（1）求地球的質(zhì)量；
（2）若地球的質(zhì)量是某行星質(zhì)量的16倍，地球的半徑是該行星半徑的2倍．該行星的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的2.5倍，求該行星的自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

分析：1、地球同步通信衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，代入數(shù)據(jù)化簡可得地球的質(zhì)量．
2、根據(jù)萬有引力等于向心力G

M′m′

r′2

=m′

4π2

T′2

r′，解得周期，再結(jié)合地球的同步衛(wèi)星的周期計(jì)算該行星的自轉(zhuǎn)周期．

解答：解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球同步通信衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球同步通信衛(wèi)星的軌道半徑為r，r=7R．
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
解得M=

1372π2R3

GT2

（2）設(shè)某行星質(zhì)量為M′，半徑為R′，該行星同步衛(wèi)星質(zhì)量為m′，軌道半徑為r′，r′=3.5 R′，自轉(zhuǎn)周期為T′，
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有 G

M′m′

r′2

=m′

4π2

T′2

r′
解得T′2=

4π2r′3

GM′

=

4π2(3.5R′)3

GM′

又因地球同步通信衛(wèi)星周期T2=

4π2(7R)3

GM

解得T′=

1

2

T．
答：（1）地球的質(zhì)量為

1372π2R3

GT2

．
（2）該行星的自轉(zhuǎn)周期為

1

2

T．

點(diǎn)評：本題要掌握衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，根據(jù)題目能夠選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．