Question

【題目】如圖所示，空間中有一水平面，其右側(cè)為一垂直于水平面的墻面．現(xiàn)使空間內(nèi)具有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大小為，方向如圖所示，已知一質(zhì)量為，帶電量為的小球，在距墻左處的水平面上以速度開(kāi)始向右水平運(yùn)動(dòng)，設(shè)球與水平面動(dòng)摩擦因數(shù)為，且與墻的碰撞為彈性的．試問(wèn)：

（1）要使小球曾經(jīng)運(yùn)動(dòng)到平面以上，且最后以垂直于墻面的速度與墻相碰，以上數(shù)據(jù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

（2）設(shè)小球可以運(yùn)動(dòng)到平面以上，并且為（1）中所滿(mǎn)足條件的次小值，而且由小球運(yùn)動(dòng)到靜止用時(shí)為．小球最終停在何處？

（3）若小球始終緊貼水平面運(yùn)動(dòng)，且最終靜止于原出發(fā)點(diǎn)，則從出發(fā)到靜止耗時(shí)為多少？

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) (3)

【解析】

（1）若要小球可以運(yùn)動(dòng)到平面以上，則首先有，接下來(lái)，我們將分解成和，其中，則．于是小球的運(yùn)動(dòng)分解成水平向右的速度為的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)及速率為的逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的合成，且易知此圓周運(yùn)動(dòng)中，有

，．

當(dāng)小球速度垂直于墻時(shí)，此時(shí)，現(xiàn)討論如下：

①，即，則此種情況下，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡下方拐點(diǎn)處速度向右，上方拐點(diǎn)處速度向左，當(dāng)小球垂直撞墻時(shí)，必有，則

②，即，則此種情況下，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡上、下方拐點(diǎn)處的速度都向右，則時(shí)，小球均可垂直撞墻，故有

另外，當(dāng)時(shí)，我們注意到小球軌跡為如圖所示，要使小球在處于時(shí)碰撞，則拐點(diǎn)面必須在面左方，即是說(shuō)，對(duì)于任一，要求有

其中，為圓周運(yùn)動(dòng)半徑，，對(duì)于上式右邊求最值，易知，即合速度豎直向上時(shí)，右邊最大，從而應(yīng)滿(mǎn)足

化簡(jiǎn)得

綜上所述．?dāng)?shù)據(jù)應(yīng)滿(mǎn)足條件為（1*）或（2*）如下

1* ．

2* ．

（2）當(dāng)滿(mǎn)足（1）中條件1*時(shí)，我們知，，

故由題意，碰后返回所用時(shí)間為．

而這段時(shí)間內(nèi)，有支持力，且滿(mǎn)足．

從而，直到小球停止時(shí)，總沖量

．

其中即小球碰后所有距離，由動(dòng)量定理，則．

故而得：．

同理，當(dāng)滿(mǎn)足（1）中條件2*時(shí)，得．

（3）由題意，此時(shí)，對(duì)于碰墻前時(shí)刻，有．

故而，．

與（2）同理可知，碰墻速度滿(mǎn)足．

而對(duì)于碰撞后到靜止，同理有，故而．

所以總時(shí)間．