Question

如圖所示是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車(chē)的模型圖，圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個(gè)光滑圓形軌道，固定在傾角為θ=37°斜軌道面上的A、B兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)C、D均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接，現(xiàn)使小車(chē)（視為質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，已知斜軌道面與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

1

6

，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．問(wèn)：
（1）若小車(chē)恰能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道韻最高點(diǎn)C，則在C點(diǎn)速度多大？PA距離多人？
（2）若小車(chē)恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)C，P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？
（3）若小車(chē)在P點(diǎn)的初速度為15m/s，則小車(chē)能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道？

Answer 1

分析：（1）小車(chē)恰好通過(guò)最高點(diǎn)C，說(shuō)明重力完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出C點(diǎn)速度；PA間的距離可以根據(jù)幾何關(guān)系求解，可以過(guò)O₁點(diǎn)作一條水平線作為輔助線，也可以連接點(diǎn)PO₁，然后通過(guò)半角公式求解出PA間距．
（2）小車(chē)從P到C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重力先做正功，后做負(fù)功，總功為零，支持力也不做功，故只有摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）先求出小車(chē)恰能通過(guò)D點(diǎn)的臨界速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理對(duì)P到D過(guò)程列式，求出對(duì)應(yīng)的初速度，與已知的初速度比較即可．

解答：解：（1）設(shè)小車(chē)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的臨界速度為v₁，則
mg=m

v 2 1

R1

解得
v₁=

gR1

=

10×2

=2

5

m/s
設(shè)P、A兩點(diǎn)間距離為L(zhǎng)₁，由幾何關(guān)系可得L1=

R1

tan θ 2

=

R1(1+cosθ)

sinθ

即C點(diǎn)速度為2

5

m/s，PA距離為

R1(1+cosθ)

sinθ

．
（2）從P運(yùn)動(dòng)到C，根據(jù)動(dòng)能定理，有
-μmgcosθ?L1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得
v₀=6m/s
即P點(diǎn)的初速度應(yīng)為6m/s．
（3）設(shè)P、B兩點(diǎn)間距離為L(zhǎng)₂，由幾何關(guān)系可得
L2=

R2(1+cosθ)

sinθ

設(shè)小車(chē)能恰能完全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道，在D點(diǎn)的臨界速度為v₂，則
mg=m

v 2 2

R2

設(shè)P點(diǎn)的初速度為v₀′小車(chē)從P運(yùn)動(dòng)到D，根據(jù)動(dòng)能定理，有
-μmgL2cosθ=

1

2

m

v′

2 2

-

1

2

m

v

2 0

v₀′=12m/s
可知v₀′=12m/s＜15m/s，能安全通過(guò)．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵根據(jù)動(dòng)能定理對(duì)各個(gè)過(guò)程列式，難點(diǎn)在于幾何關(guān)系的確定，切入點(diǎn)在于小車(chē)恰能通過(guò)最高點(diǎn)．