Question

16．如圖所示，豎直放置的光滑圓環(huán)上，穿過一個(gè)絕緣小球，小球質(zhì)量為m，帶電量為q，整個(gè)裝置置于水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．今將小球從與環(huán)心O在同一水平線上的A點(diǎn)由靜止釋放，它剛能順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高點(diǎn)D，而速度為零，已知圓環(huán)半徑為r，重力加速度為g．則
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小為多大？
（2）小球到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)速度為多少？
（3）要使小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則從A點(diǎn)向下拋出的速度滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）由動(dòng)能定理可以求出小球到達(dá)B時(shí)的速度．
（3）寫出小球相對(duì)于A點(diǎn)的重力勢(shì)能的表達(dá)式與電勢(shì)能的表達(dá)式，當(dāng)重力勢(shì)能與電勢(shì)能的和最大處，小球的動(dòng)能最小，結(jié)合功能關(guān)系即可求出．

解答 解：小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到重力、電場(chǎng)力與環(huán)的彈力作用，環(huán)的彈力對(duì)小球不做功；
（1）從A到D的過程中，
由動(dòng)能定理得：-mgr+qEr=0-0，
解得：E=$\frac{mg}{q}$  ①
（2）從A到B的過程中，
由動(dòng)能定理得：mgr+qEr=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=2$\sqrt{gr}$；
（3）以A點(diǎn)為小球的重力勢(shì)能的零點(diǎn)與電勢(shì)能的零點(diǎn)，當(dāng)小球向下順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角度α?xí)r的重力勢(shì)能為：
E_PG=-mgr•sinα
小球的電勢(shì)能：E_PE=-qEr（1-cosα）
重力勢(shì)能與電勢(shì)能的和：E_P=-mgrsinα-qEr（1-cosα）   ②
聯(lián)立①②，得：E_P=-mgr（1+sinα-cosα）
由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng)α=315°時(shí)，E_P有最大值為E_Pm=$mgr（\sqrt{2}-1）$．
由于小球沿環(huán)運(yùn)動(dòng)，所以小球的最小速度可以為0．
結(jié)合功能關(guān)系可知，當(dāng)小球的動(dòng)能最小時(shí)，小球的電勢(shì)能與重力勢(shì)能的和最大，所以得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=0+EPm=mgr（\sqrt{2}-1）$
則：${v}_{0}=\sqrt{2gr（\sqrt{2}-1）}$
即使小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則從A點(diǎn)向下拋出的速度${v}_{0}≥\sqrt{2gr（\sqrt{2}-1）}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）小球到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)速度為$2\sqrt{gr}$；
（3）要使小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則從A點(diǎn)向下拋出的速度滿足${v}_{0}≥\sqrt{2gr（\sqrt{2}-1）}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)物體，涉及求電場(chǎng)強(qiáng)度、小球的速度、環(huán)受到的壓力等問題，對(duì)小球正確受力分析、熟練應(yīng)用動(dòng)能定理、向心力公式即可正確解題．