Question

如圖所示，質量為m．電荷量為e的電子從坐標原點0處沿xOy平面射人第一象限內，射入時的速度方向不同，但大小均為v₀．已知包括原點O在內的圓形區(qū)域內有方向垂直于xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，這些電子穿出磁場后都能垂直打在與y軸平行的熒光屏MN上，屏MN與y軸間的距離等于電子在磁場中做圓周運動的半徑的2倍（不計電子的重力以及電子間相互作用）．
（1）在O點沿y軸正方向進入磁場的電子經多長時間打在屏上？
（2）若電子穿出磁場時的位置坐標為（x，y），試寫出x與y應滿足的方程式，并分析指出圓形磁場區(qū)的圓心位置坐標和半徑；
（3）求這些電子在磁場中運動范圍的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律與運動學公式，可導出半徑與周期公式，再由運動時間與周期及圓心角的關系，即可求解；
（2）根據(jù)幾何關系與半徑公式，即可求解；
（3）根據(jù)題意畫出運動軌跡，并由圓的面積公式，即可求解．

解答：解：（1）設電子做圓周運動的半徑為R，
由牛頓第二定律可得，ev0B=

m v 2 0

R

解得：R=

mv0

eB

 電子做圓周運動的周期：T=

2πm

eB

沿y軸正方向進入磁場的電子運動軌跡，如圖甲所示．
電子在磁場中運動的時間：t1=

T

4

=

πm

2eB

電子穿出磁場后的運動時間：t2=

2R-R

v0

=

m

eB

所以該電子運動的時間：t=t1+t2=

(π+2)m

2eB

（2）入射方向與x軸正方向夾角為θ的電子軌跡，如圖乙所示，
電子穿出磁場時的位置坐標為（x，y），
由圖乙可得：x²+（R-y）²=R²，
即x2+(y-

mv0

eB

)2=(

mv0

eB

)2
電子穿出磁場的位置在磁場圓的圓周上，故磁場圓周圓心坐標為（0，

mv0

eB

）
磁場圓半徑等于軌跡圓半徑為r=R=

mv0

eB

磁場圓如圖乙所示中虛線圓所示．
（3）這些電子在磁場中的運動范圍由圖丙所示的兩段圓弧圍成，
面積等于圖中陰影面積的2倍，即：S=2?(

πR2

4

-

R2

2

)=

π-2

2

(

mv0

eB

)2
答：
（1）在O點沿y軸正方向進入磁場的電子經

(π+2)m

2eB

時間打在屏上；
（2）若電子穿出磁場時的位置坐標為（x，y），則x與y應滿足的方程式，并分析指出圓形磁場區(qū)的圓心位置坐標（0，

mv0

eB

）和半徑

mv0

eB

；
（3）則這些電子在磁場中運動范圍的面積

π-2

2

(

mv0

eB

)2．

點評：考查牛頓第二定律與運動學公式，掌握圓周運動的半徑與周期公式，理解幾何關系的應用，同時學會畫出正確的運動軌跡．