Question

13．如圖甲所示，在豎直平面內(nèi)建立一平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸沿水平方向．第二象限內(nèi)有一水平向右的場(chǎng)強(qiáng)為E₁的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第一、四象限內(nèi)有一正交的場(chǎng)強(qiáng)為E₂豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)交變磁場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面．從A點(diǎn)以v₀=4m/s豎直向上射出一個(gè)比荷為$\frac{q}{m}$=10²C/kg的帶正電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），并以v₁=8m/s的速度從y軸上的C點(diǎn)水平向右進(jìn)入第一象限，且在第一象限內(nèi)剛好沿圓弧作圓周運(yùn)動(dòng)．取小球從C點(diǎn)進(jìn)入第一象限的時(shí)刻為t=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向），g=10m/s²．求：

（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t₁和勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂的場(chǎng)強(qiáng)；
（2）x軸上有一點(diǎn)D，OD=OC，若帶電粒子在通過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中不再越過y軸且沿x軸正方向通過D點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和磁場(chǎng)的變化周期T₀．

Answer 1

分析 （1）將粒子在第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，得出兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求解；
（2）若帶電微粒在通過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中不再越過y軸，要使其恰能沿x軸正方向通過D點(diǎn)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑大小，結(jié)合幾何關(guān)系，求出磁感應(yīng)度的通項(xiàng)表達(dá)式，再根據(jù)周期的關(guān)系求出磁場(chǎng)的變化周期T₀的通項(xiàng)表達(dá)式．

解答 解：（1）小球從A到C豎直方向受重力作用做勻減速運(yùn)動(dòng)，有：${t_1}=\frac{v_0}{g}$…①
小球進(jìn)入第一象限內(nèi)恰作圓周運(yùn)動(dòng)，有：mg-qE₂=0…②
解代入數(shù)據(jù)得：
t₁=0.4s…③
E₂=0.1N/C…④
（2）設(shè)粒子在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)圓軌道半徑為R，周期為T，C到O的距離為y，作出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

則有：${B_0}q{v_1}=m\frac{v_1^2}{R}$…⑤，$y=\frac{v_0^2}{2g}$…⑥
要粒子沿x軸通過通過D點(diǎn)，則由圖中幾何關(guān)系有：y=n（2R）…⑦
$T=\frac{2πR}{v_1}$…⑧
$t=n（\frac{T}{2}）=n{T_0}$…⑨
聯(lián)解⑤⑥⑦⑧⑨得：
B₀=0.2n（T）（n=1，2，3…）或B₀=0.1n （T）（n=2，4，6…），${T_0}=\frac{π}{20n}$（s）（n=1，2，3…）或${T_0}=\frac{π}{10n}$（s）  （n=2，4，6…）
答：（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為0.4s，勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂的場(chǎng)強(qiáng)為0.1N/C；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.2n（T）（n=1，2，3…）或B₀=0.1n （T）（n=2，4，6…），磁場(chǎng)的變化周期為$\frac{π}{20n}$（s）（n=1，2，3…）或$\frac{π}{10n}$（s）  （n=2，4，6…）．

點(diǎn)評(píng) 本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性以及臨界狀態(tài)，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)綜合求解．