Question

17．固定在豎直面內(nèi)的一個半徑為R的半圓形光滑軌道，軌道兩端在同一水平高度上，其中一端有一定滑輪（其大小可以忽略），兩個小物體其質(zhì)量分別為m₁和m₂、用細線跨過定滑輪連接在一起，如圖所示，若要求小物體m₁從光滑半圓形軌道上端沿軌道由靜止開始滑下，試求：
（1）m₁滿足什么條件可以使它下滑到軌道的最低點C
（2）m₁下滑到C點時的速度多大？

Answer 1

分析 （1）m₁與m₂組成的系統(tǒng)除了重力外沒有其他力做功，系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律求解．
（2）在小物體m₁下滑過程中，m₁速度沿繩子方向的分量與m₂的速度相等；根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒列式，結(jié)合速度關(guān)求解．和

解答 解：（1）m₁與m₂組成的系統(tǒng)除了重力以外沒有其他力做功，故系統(tǒng)機械能守恒，m₁恰能到達最低點時，則有：
m₁gR=m₂g•$\sqrt{2}$R
得：m₁=$\sqrt{2}$m₂，
故要使得m₁能到達最低點，必須滿足m₁≥$\sqrt{2}$m₂．
（2）設(shè)m₁下滑到C點時的速度為v₁，m₂的速度為v₂，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒得：
m₁gR-m₂g•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又由速度關(guān)系有：v₁cos45°=v₂．
聯(lián)立解得：v₁=$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
答：（1）m₁滿足的條件是：m₁≥$\sqrt{2}$m₂可以使它下滑到軌道的最低點C．
（2）m₁下滑到C點時的速度是$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．

點評 本題屬于連接體問題，接觸面光滑，沒有阻力，除了重力也沒有其他外力對系統(tǒng)做功，故一定要挖掘出系統(tǒng)的機械能守恒．