Question

（2013?湖南模擬）2005年10月12日9時(shí)，“神舟六號(hào)”飛船發(fā)射升空，飛船按預(yù)定軌道在太空飛行四天零十九小時(shí)32分（用t表示），環(huán)繞地球77圈（用n表示）．“神舟六號(hào)”運(yùn)行過(guò)程中由于受大氣阻力和地球引力的影響，飛船飛行軌道會(huì)逐漸下降．為確保正常運(yùn)行，“神舟六號(hào)”飛船飛行到第30圈時(shí)，對(duì)飛船進(jìn)行了一次精確的“軌道維持”（通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)向后噴氣，利用反沖校準(zhǔn)軌道）．設(shè)總質(zhì)量為m的“神舟六號(hào)”飛船的預(yù)定圓形軌道高度為h，當(dāng)其實(shí)際運(yùn)行高度比預(yù)定軌道高度低了△h時(shí)，控制中心開(kāi)始啟動(dòng)軌道維持程序，開(kāi)動(dòng)小動(dòng)量發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)時(shí)間△t后，飛船恰好重新進(jìn)入預(yù)定軌道平穩(wěn)飛行．地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）求“神舟六號(hào)”軌道離地面高度h的表達(dá)式（用題中所給的數(shù)據(jù)表示）；
（2）已知質(zhì)量為m的物體在地球附近的萬(wàn)有引力勢(shì)能Ep=-

R2mg

r

（以無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，r表示物體到地心的距離），忽略在軌道維持過(guò)程中空氣阻力對(duì)飛船的影響，求在軌道維持過(guò)程中，小動(dòng)量發(fā)動(dòng)機(jī)的平均功率P的表達(dá)式（軌道離地面高度為h不用代入（1）問(wèn)中求得的結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）飛船繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，物體在地球表面時(shí)，地球的萬(wàn)有引力等于物體的重力，分別對(duì)飛船在軌道上運(yùn)動(dòng)和物體在地球表面的情況，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式列式即可求出h．
（2）由萬(wàn)有引力提供向心力，求出飛船在h高度和h-△h高度時(shí)運(yùn)行速度，根據(jù)能量守恒定律求發(fā)動(dòng)機(jī)的平均功率P．

解答：解：（1）飛船繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力，則得

GMm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

  ①
而 T=

t

n

 ②
在地球表面上，有 mg=G

Mm

R2

  ③
由①②③得h=

3	gR2t2 4n2π2

-R
（2）由萬(wàn)有引力提供向心力，得
 

GMm

(R+h)2

=m

v12

R+h

 

GMm

(R+h-△h)2

=m

v22

R+h-△h

由能量守恒知  P△t=(

1

2

mv12-

R2mg

R+h

)-(

1

2

mv22-

R2mg

R+h-△h

)
∴P=

1

2△t

(

R2mg

R+h-△h

-

R2mg

R+h

)
答：
（1）“神舟六號(hào)”軌道離地面高度h的表達(dá)式為h=

3	gR2t2 4n2π2

-R．
（2）在軌道維持過(guò)程中，小動(dòng)量發(fā)動(dòng)機(jī)的平均功率P的表達(dá)式為P=

1

2△t

(

R2mg

R+h-△h

-

R2mg

R+h

)．

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星類型，建立清晰的運(yùn)動(dòng)圖景，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，也等于重力進(jìn)行求解．屬于常規(guī)問(wèn)題．