Question

7．某星球“一天”的時間是T=6h，用彈簧測力計在星球的“赤道”上比在“兩極”處測同一物體的重力時讀數小10%，設想該星球自轉的角速度加快，使赤道上的物體會自動飄起來，這時星球的“一天”是多少小時？

Answer 1

分析 在兩極，因物體隨行星自轉半徑為零，無需向心力，其萬有引力等于重力，在赤道上，我們把物體所受到的萬有引力分解為自轉向心力和重力．
物體飄起相當于行星的表面發(fā)射一顆環(huán)繞表面的衛(wèi)星，其軌道半徑近似等于星體半徑R．由萬有引力充當向心力可解的衛(wèi)星的周期T′．

解答 解：在兩極，因物體隨行星自轉半徑為零，無需向心力，其萬有引力等于重力，即$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg；
在赤道上，萬有引力產生了兩個作用效果，一是讓物體隨行星一起自轉，需要自轉向心力，二是讓物體來擠壓地面，產生重力．
即在赤道上，我們把物體所受到的萬有引力分解為自轉向心力和重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg′+$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
所以mg-mg′=0.1×$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
物體飄起其運動的周期為T′，則　
F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T′}^{2}}$R
0.1×$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
解得：T′=$\frac{\sqrt{10}}{10}$T=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$h，
答：使赤道上的物體會自動飄起來，這時星球的“一天”是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$h．

點評 解決此類問題的關鍵是找到物體和衛(wèi)星做圓周運動所需要的向心力的來源，并結合萬有引力定律解決問題．