Question

如圖甲所示， A、B、C、D為固定于豎直平面內(nèi)的閉合絕緣軌道，AB段、CD段均為半徑R＝1.6m的半圓，BC、AD段水平，AD=BC=8m。B、C之間的區(qū)域存在水平向右的有界勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E＝5×10⁵V/m，其余區(qū)域沒有電場。質(zhì)量為m=4×10^-3kg、帶電量q=+1×10^-8C的小環(huán)套在軌道上。小環(huán)與軌道AD段的動摩擦因數(shù)為=0.125，與軌道其余部分的摩擦忽略不計(jì)�，F(xiàn)使小環(huán)在D點(diǎn)獲得沿軌道向左的初速度v₀=4m/s，且在沿軌道DA段運(yùn)動過程中始終受到方向豎直向上、大小隨速度變化的力F（變化關(guān)系如圖乙所示）作用，小環(huán)第一次進(jìn)入半圓軌道AB時在A點(diǎn)對半圓軌道剛好無壓力。不計(jì)小環(huán)大小，g取10m/s²。求：

（1）小環(huán)第一次運(yùn)動到A時的速度大小；

（2）小環(huán)第一次回到D點(diǎn)時速度大小；

（3）若小環(huán)經(jīng)過多次循環(huán)運(yùn)動能達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動狀態(tài)，則到達(dá)D點(diǎn)時的速度至少多大？

 

Answer 1

（1）4m/s（2）（3）不小于

解析:根據(jù)向心力公式求出A點(diǎn)速度；根據(jù)動能定理求出D點(diǎn)速度；先分析各種情況的運(yùn)動，利用能量關(guān)系及動能定理求解。

(1)進(jìn)入半圓軌道AB時小環(huán)僅受重力，在A點(diǎn)由向心力公式得： 

得：             

(2) 小物塊從D出發(fā)，第一次回到D的過程，由動能定理得：

                                       

 

(3) 分析：初始位置D點(diǎn)時，若所加力F﹥mg ,則小壞受摩擦力而減速，同時F減小，當(dāng)

F= mg時勻速，但速度一定小于4m/s;若F﹤mg, 則小壞受摩擦力而減速,同時F越來越小，摩擦力越來越大，小環(huán)繼續(xù)減速直至靜止，不會到達(dá)A點(diǎn)時速度為4m/s，綜上可知小環(huán)第一次從D到A做勻速運(yùn)動。

由圖象知：F=kv=mg

所以，                                   

則可知環(huán)與桿的摩擦力f≤μ|F_m－mg|=μmg=qE，              

穩(wěn)定循環(huán)時，每一個周期中損耗的能量應(yīng)等于補(bǔ)充的能量        

 

而         

所以穩(wěn)定循環(huán)運(yùn)動時小環(huán)在AD段運(yùn)動時速度一定要大于等于8m/s

即到達(dá)A點(diǎn)的速度不小于8m/s                              

穩(wěn)定循環(huán)運(yùn)動時小環(huán)從A到D的過程，由動能定理得：

                               

 

達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動狀態(tài)時，小環(huán)到達(dá)D點(diǎn)時速度應(yīng)不小于