Question

（18分）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的 y 軸豎直向上，x 軸上的 P 點(diǎn)與 Q 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O 對(duì)稱，距離為2a．有一簇質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在 xoy平面內(nèi)，從 P 點(diǎn)以相同的速率斜向上沿與 x 軸正方向的夾角 θ 方向射出，0°＜θ ＜90°，經(jīng)過某一個(gè)垂直于 xoy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 的有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域后，最終會(huì)聚到 Q 點(diǎn)，這些微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于 y 軸對(duì)稱．為保證微粒的速率保持不變，需要在微粒的運(yùn)動(dòng)空間再施加一個(gè)勻強(qiáng)電場．重力加速度為g．求：

（1）勻強(qiáng)電場場強(qiáng)E的大小和方向；

（2）若微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 a ，求與 x軸正方向成30°角射出的微粒從 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 Q 點(diǎn)的時(shí)間 t ；

（3）若微粒從 P 點(diǎn)射出時(shí)的速率為 v，試推出在 x ＞0的區(qū)域中磁場的邊界點(diǎn)坐標(biāo) x 與  y 應(yīng)滿足的關(guān)系式．

 

Answer 1

（1），方向豎直向上

（2）

（3）

解析:

（1）由題意可知，微粒所受電場力與重力平衡，即

        …………………………………… …2分

       解得：，方向豎直向上………………2分

（2）根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)A、C分別為微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)． 根據(jù)幾何關(guān)系可得：

A點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為2分

微粒運(yùn)動(dòng)的路程為…………2分

    設(shè)微粒運(yùn)動(dòng)的速率為v，它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛 侖茲力提供向心力，即

………2分     ……………2分

解得： ………………………2分

（3）如圖所示，設(shè)微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 r ，在 x ＞0的區(qū)域內(nèi)，設(shè)微粒離開磁場后的速度方向與x軸夾角為θ ，根據(jù)幾何關(guān)系可得：

         …………………………………1分

      …………………1分

      代入相關(guān)數(shù)據(jù)并化簡得： ………………2分