Question

12．如圖所示，粗糙水平軌道AB與豎直平面內(nèi)的光滑半圓軌道BC在B處平滑連接，B、C分別為半圓軌道的最低點和最高點．一個質(zhì)量m=0.1kg的小物體P被一根細線拴住放在水平軌道上，細線的左端固定在豎直墻壁上．此時P到B點的距離x₀=0.5m，在墻壁和P之間夾一根被壓縮的輕彈簧（彈簧的壓縮量小于x₀）．物體P與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，半圓軌道半徑R=0.4m．現(xiàn)將細線剪斷，P被彈簧向右彈出后滑上半圓軌道，并恰好能經(jīng)過C點．g取10m/s²．求：
（1）小物體P到達C點的速度大��；
（2）小物體P經(jīng)過B點時對軌道的壓力；
（3）細線未剪斷時彈簧的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P恰好能經(jīng)過C點得出C速度，根據(jù)P從B到C的過程中機械能守恒求解經(jīng)過B點時的速度；
（2）再運用牛頓第二定律求解經(jīng)過B點時對軌道的壓力．
（3）從剪斷細線到P經(jīng)過B點的過程中，由能量守恒求解．

解答 解：（1）P恰好能經(jīng)過C點，設(shè)其速度為v_c，
由向心力公式有$mg=m\frac{v_c^2}{R}$
解得${v_c}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}=2m/s$   
（2）P從B到C的過程中機械能守恒，設(shè)P經(jīng)過B點時的速度為v_B，則有$mg×2R+\frac{1}{2}mv_C^2=\frac{1}{2}mv_B^2$
解得${v_B}=\sqrt{4gR+v_C^2}=\sqrt{4×10×0.4+{2^2}}=2\sqrt{5}m/s$
設(shè)小球剛過B時受到圓軌道的支持力為N_B，由向心力公式有${N_B}-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
解得  ${N_B}=mg+m\frac{v_B^2}{R}=0.1×10+0.1×\frac{{{{（2\sqrt{5}）}^2}}}{0.4}=6N$
由牛頓第三定律可得，
物體剛過B點時對軌道的壓力大小為6N，方向豎直向下．  
（3）設(shè)細線剪斷前彈簧的彈性勢能為E_P．從剪斷細線到P經(jīng)過B點的過程中，由能量守恒可得${E_P}-μmg{x_0}=\frac{1}{2}mv_B^2$
解得${E_P}=μmg{x_0}+\frac{1}{2}mv_B^2=0.2×0.1×10×0.5+\frac{1}{2}×0.1×{（2\sqrt{5}）^2}=1.1J$
答：（1）小物體P到達C點的速度大小是2m/s；
（2）小物體P經(jīng)過B點時對軌道的壓力是6N，方向向下；
（3）細線未剪斷時彈簧的彈性勢能是1.1J．

點評 本題是能量守恒與牛頓運動定律的綜合應用，來處理圓周運動問題．基礎(chǔ)題．利用功能關(guān)系解題的優(yōu)點在于不用分析復雜的運動過程，只關(guān)心初末狀態(tài)即可，平時要加強訓練深刻體會這一點．