Question

（1）某同學(xué)用半圓形玻璃磚測(cè)定玻璃的折射率（如圖所示）．實(shí)驗(yàn)的主要過程如下：
a．把白紙用圖釘釘在木板上，在白紙上作出直角坐標(biāo)系xOy，在白紙上畫一條線段 AO表示入射光線．
b．把半圓形玻璃磚M放在白紙上，使其底邊aa′與Ox軸重合．
c．用一束平行于紙面的激光從y＞0區(qū)域沿y軸負(fù)方向射向玻璃磚，并沿x軸方向調(diào)整玻璃磚的位置，使這束激光從玻璃磚底面射出后，仍沿y軸負(fù)方向傳播．
d．在AO線段上豎直地插上兩枚大頭針P₁、P₂．
e．在坐標(biāo)系的y＜0的區(qū)域內(nèi)豎直地插上大頭針P₃，并使得從P₃一側(cè)向玻璃磚方向看去，P₃能同時(shí)擋住觀察P₁和P₂的視線．
f．移開玻璃磚，作OP₃連線，用圓規(guī)以O(shè)點(diǎn)為圓心畫一個(gè)圓（如圖中虛線所示），此圓與AO線交點(diǎn)為B，與OP₃連線的交點(diǎn)為C．確定出B點(diǎn)到x軸、y軸的距離分別為x₁、y₁、，C點(diǎn)到x軸、y軸的距離分別為x₂、y₂．
①根據(jù)上述所確定出的B、C兩點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離，可知此玻璃折射率測(cè)量值的表達(dá)式為n=

 

．
②若實(shí)驗(yàn)中該同學(xué)在y＜0的區(qū)域內(nèi)，從任何角度都無法透過玻璃磚看到P₁、P₂，其原因可能是：

 

．
（2）在“用單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)的主要操作步驟如下：
a．取一根符合實(shí)驗(yàn)要求的擺線，下端系一金屬小球，上端固定在O點(diǎn)；
b．在小球靜止懸掛時(shí)測(cè)量出O點(diǎn)到小球球心的距離l；
c．拉動(dòng)小球使細(xì)線偏離豎直方向一個(gè)不大的角度（約為5°），然后由靜止釋放小球；
d．用秒表記錄小球完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t．
①用所測(cè)物理量的符號(hào)表示重力加速度的測(cè)量值，其表達(dá)式為g=

 

；
②若測(cè)得的重力加速度數(shù)值大于當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度的�?shí)際值，造成這一情況的原因可能是

 

．（選填下列選項(xiàng)前的序號(hào)）
A．測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)，把擺線的長(zhǎng)度當(dāng)成了擺長(zhǎng)
B．?dāng)[線上端未牢固地固定于O點(diǎn)，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線越擺越長(zhǎng)
C．測(cè)量周期時(shí)，誤將擺球（n-1）次全振動(dòng)的時(shí)間t記為了n次全振動(dòng)的時(shí)間，并由計(jì)算式T=t/n求得周期
D．?dāng)[球的質(zhì)量過大
③在與其他同學(xué)交流實(shí)驗(yàn)方案并糾正了錯(cuò)誤后，為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，他決定用圖象法處理數(shù)據(jù)，并通過改變擺長(zhǎng)，測(cè)得了多組擺長(zhǎng)l和對(duì)應(yīng)的周期T，并用這些數(shù)據(jù)作出T²-l圖象如圖甲所示．若圖線的斜率為k，則重力加速度的測(cè)量值g=

 

．
④這位同學(xué)查閱資料得知，單擺在最大擺角θ較大時(shí)周期公式可近似表述為T=2π

l g

（1+

1

4

sin²

θ

2

）．為了用圖象法驗(yàn)證單擺周期T和最大擺角θ的關(guān)系，他測(cè)出擺長(zhǎng)為l的同一單擺在不同最大擺角θ時(shí)的周期T，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描繪出如圖乙所示的圖線．根據(jù)周期公式可知，圖乙中的縱軸表示的是

 

，圖線延長(zhǎng)后與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)折射定律n=

sini

sinr

結(jié)合幾何關(guān)系求解；②若從任何角度都無法透過玻璃磚看到P₁、P₂，其原因可能是入射光發(fā)生了全反射；
（2）根據(jù)單擺的周期公式，得到重力加速度的表達(dá)式，再分析造成重力加速度測(cè)量值偏大的原因．由單擺周期公式的變形公式求出T²-L關(guān)系表達(dá)式，即可求g，圖象是一次函數(shù)，表示成線性關(guān)系．

解答：解：（1）①設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)幾何知識(shí)得，sinr=

x1

R

，sini=

x2

R

根據(jù)折射定律n=

sini

sinr

得：
n=

x2

x1

②若從任何角度都無法透過玻璃磚看到P₁、P₂，其原因可能是沿P₁、P₂方向入射光在玻璃磚底邊的界面上發(fā)生了全反射；
（2）根據(jù)已知條件可知，T=

t

n

，
根據(jù)單擺的周期公式得：
T=2π

L g

解得：g=

4π2n2l

t2

A、測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)，把擺線長(zhǎng)當(dāng)成擺長(zhǎng)時(shí)，擺長(zhǎng)l偏小，測(cè)得的重力加速度數(shù)值應(yīng)小于實(shí)際值．故A錯(cuò)誤．
B、擺線上端沒有系牢，擺動(dòng)過程因松動(dòng)而使擺線變長(zhǎng)，則所測(cè)單擺的實(shí)際周期T偏大，所以所測(cè)重力加速度偏小，故B錯(cuò)誤；
C、將擺球（n-1）次全振動(dòng)的時(shí)間t記為了n次全振動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)g=

4π2n2l

t2

可知，g偏大，故C正確；
D、重力加速度與擺球質(zhì)量無關(guān)，故D錯(cuò)誤；
故選C
③根據(jù)單擺的周期公式得：
T=2π

L g

所以T²=4π²

L

g

=

4π2

g

L，所以T²-L圖象中的斜率k=

4π2

g

，即g=

4π2

k

④實(shí)驗(yàn)中得到的線性圖線，根據(jù)T=2π

l g

（1+

1

4

sin²

θ

2

）得：sin²

θ

2

=

2

π l g

T-4，所以sin²

θ

2

與T成一次函數(shù)關(guān)系，
所以圖乙中的縱軸表示的是sin²

θ

2

，圖線延長(zhǎng)后與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2π

l g

故答案為：（1）

x2

x1

；沿P₁、P₂方向入射光在玻璃磚底邊的界面上發(fā)生了全反射；（2）

4π2n2l

t2

；C；

4π2

k

；sin²

θ

2

；2π

l g

點(diǎn)評(píng)：（1）本題采用單位圓法測(cè)量玻璃磚的折射率，是數(shù)學(xué)知識(shí)在物理實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用，簡(jiǎn)單方便．（2）解決本題的關(guān)鍵掌握單擺的周期公式T=2π

L g

，會(huì)通過g=

4π2 l

T2

，分析因擺長(zhǎng)、周期的誤差而引起重力加速度的誤差．