Question

如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，電阻忽略不計(jì)且足夠長(zhǎng)，導(dǎo)軌平面的傾角為α，斜面上相隔為d的平行虛線MN與PQ間有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向與導(dǎo)軌平面垂直．另有一長(zhǎng)為2d的絕緣桿將一導(dǎo)體棒和一邊長(zhǎng)為d（d＜L）的正方形單匝線框連在一起組成一固定的裝置，總質(zhì)量為m，導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流．將整個(gè)裝置置于導(dǎo)軌上，線框下邊與PQ重合．釋放后裝置沿斜面開始下滑，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到MN處恰好第一次開始返回，經(jīng)過(guò)若干次往返后，最終整個(gè)裝置在斜面上作恒定周期的往復(fù)運(yùn)動(dòng)．導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直．求：
（1）在裝置第一次下滑的過(guò)程中，線框中產(chǎn)生的熱量Q；
（2）畫出整個(gè)裝置在第一次下滑過(guò)程中的速度-時(shí)間（v-t）圖象；
（3）裝置最終在斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的最大速率v_m；
（4）裝置最終在斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析：（1）線框克服安培力做功等于整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，根據(jù)動(dòng)能定理求出導(dǎo)體棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)到MN處線框克服安培力做的功，從而求出線框產(chǎn)生的熱量．
（2）在線框進(jìn)入磁場(chǎng)和離開磁場(chǎng)的過(guò)程中，做變加速直線運(yùn)動(dòng)，線框離開磁場(chǎng)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到速度為零．
（3）線框最終做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)時(shí)上邊位于MN處，因?yàn)閷?dǎo)體棒向下進(jìn)入磁場(chǎng)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，向上進(jìn)入磁場(chǎng)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，知速度最大的位置導(dǎo)體棒位于PQ處．根據(jù)動(dòng)能定理求出最大的速度．
（4）在做周期性運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，先向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出周期的大�。�

解答：解：（1）設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過(guò)程中，安培力對(duì)線框做功的大小為W，mgsinα?4d-W-BIL?d=0
解得W=4mgdsinα-BILd
線框中產(chǎn)生的熱量Q=W=4mgdsinα-BILd    
（2）第一段，初速度為零、加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)；第二段勻加速運(yùn)動(dòng)；第三段，勻減速運(yùn)動(dòng)至速度為零．
（3）裝置往復(fù)運(yùn)動(dòng)的最高位置：線框的上邊位于MN處；速度最大的位置：導(dǎo)體棒位于PQ處．
由mgsinα?d=

1

2

mv_m²解得v_m=

2gdsinα

 
（4）向下加速過(guò)程ma₁=mgsinα  t₁=

vm-0

a1

=

2gdsinα

gsinα

向下減速過(guò)程ma₂=BIL-mgsinα  t₂=

vm-0

a2

=

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

T=2（t₁+t₂）=2（

2gdsinα

gsinα

+

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

）．
答：（1）在裝置第一次下滑的過(guò)程中，線框中產(chǎn)生的熱量Q=4mgdsinα-BILd．
（2）如圖所示．
（3）裝置最終在斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的最大速率為

2gdsinα

．
（4）裝置最終在斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期T為2（

2gdsinα

gsinα

+

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了電磁感應(yīng)與力學(xué)和能量的綜合，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)訓(xùn)練．