Question

5．如圖所示，在y軸左邊有一間距為3d的平行板電容器，兩極板的中線PO與x軸重合，上板A帶正電．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從板間P點以速度v₀射入，從y軸的Q點射出，速度方向與y軸上負方向的夾角θ=30°；在y軸右側(cè)有一半圓形勻強磁場區(qū)域磁感應強度的大小B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，方向垂直紙面向里，粒子經(jīng)過該磁場區(qū)域后能從O點沿x軸負方向回到電場．已知OQ=d，不計粒子重力，求：
（1）兩極板間的電勢差U．
（2）磁場區(qū)域的最小面積．
（3）粒子從開始運動到又回到電場的總時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度的合成，根據(jù)粒子飛出極板時的速度v的方向，計算出量極板之間的電勢差；
（2）粒子進入磁場后由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，由題，恰能沿x軸負方向回到電場沿x軸負方向回到電場，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑和最小面積；
（3）結(jié)合直線運動、平拋運動喝 圓周運動的時間關(guān)系，分別求出粒子的各段的運動的時間，然后求和即可．

解答 解：（1）設(shè)粒子飛出板時水平速度為v_x，豎直速度為v_y，水平偏轉(zhuǎn)角為θ，則
水平方向：v_x=v₀ l=v₀t₁
豎直方向：v_y=at₁=$\frac{qEl}{m{v}_{0}}$=$\frac{qUl}{m{•3d•v}_{0}}$
則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$tan60°=\sqrt{3}$，
即：$\frac{qUl}{m•3d•{v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{3}$…①
偏轉(zhuǎn)量：$d=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qU}{m•3d}•\frac{{l}^{2}}{{v}_{0}^{2}}$…②
聯(lián)立①②得：$l=\frac{2\sqrt{3}}{3}d$，$U=\frac{9m{v}_{0}^{2}}{2q}$，${t}_{1}=\frac{l}{{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}$
（2）從y軸的Q點射出，速度方向與y軸上負方向的夾角θ=60°，則射出時的速度：
$v=\frac{{v}_{0}}{cos60°}=2{v}_{0}$
設(shè)粒子在磁場中運動的半徑為R，由洛倫茲力提供向心力，則得qvB=m $\frac{{v}^{2}}{r}$
得$r=\frac{mv}{qB}=\frac{m•2{v}_{0}}{q•\frac{m{v}_{0}}{qd}}=2d$
由圖可知，O₁C與速度v的方向垂直，$∠C{O}_{1}D=∠D{O}_{1}C=\frac{1}{2}θ=30°$
所以最小的磁場的半圓的半徑：$R=r+rsin30°=\frac{3}{2}r=3d$
磁場的最小面積：${S}_{min}=\frac{1}{2}π{R}^{2}=\frac{9}{2}πtahyyhc^{2}$
（3）粒子在QC之間做勻速直線運動，在磁場中做勻速圓周運動．在DO之間做勻速直線運動，由圖可知：
$CE=r+r•cos60°=\frac{3}{2}r=3d$，
則：$QC=\frac{CE-OQ}{sin60°}=\frac{4d}{\sqrt{3}}$
$OE=QC•sin30°=\frac{2d}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$，$DE=r•sin60°=\sqrt{3}d$，$OD=OE+ED=\frac{5\sqrt{3}}{3}d$
得：${t}_{2}=\frac{QC}{{v}_{0}}=\frac{4\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}$，${t}_{4}=\frac{DO}{{v}_{0}}=\frac{5\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}$
由圖可知，粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角是240°，所以有：${t}_{3}=\frac{240°}{360°}T=\frac{2}{3}•\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{8πd}{3{v}_{0}}$
運動的總時間為：t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}+\frac{4\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}+\frac{5\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}+\frac{8πd}{3{v}_{0}}$=$\frac{（11\sqrt{3}+8π）d}{3{v}_{0}}$
答：（1）兩極板間的電勢差是$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{2q}$．
（2）磁場區(qū)域的最小面積是$\frac{9}{2}πxqia7kp^{2}$．
（3）粒子從開始運動到又回到電場的總時間是$\frac{（11\sqrt{3}+8π）d}{3{v}_{0}}$．

點評 本題中帶電粒子在組合場中運動，要掌握類平拋運動的研究方法：運動的合成和分解，磁場中畫軌跡是解題的關(guān)鍵．