Question

【題目】如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一粒子源，離子源從O點(diǎn)在紙面內(nèi)均勻地向各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射速率為v、比荷為k的帶正電的粒子，PQ是在紙面內(nèi)垂直磁場(chǎng)放置的厚度不計(jì)的擋板，擋板的P端與O點(diǎn)的連線與擋板垂直，距離為，且粒子打在擋板上會(huì)被吸收；不計(jì)帶電粒子的重力與粒子間的相互作用，磁場(chǎng)分布足夠大，求：

（1）為使最多的粒子打在板上，則擋板至少多長(zhǎng)；

（2）若擋板足夠長(zhǎng)，則打在板上的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間與最短時(shí)間的差值是多少；

（3）若擋板足夠長(zhǎng)，在打在擋板上的粒子占所有粒子的比率是多少.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電量為q，粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則有 解得：

在擋板左側(cè)能打在擋板上部最遠(yuǎn)點(diǎn)的粒子恰好與擋板相切，如圖所示，由題意，由幾何知識(shí)可得：

設(shè)粒子初速度方向與OP夾角為θ，隨著θ從0開始逐漸增大，粒子打在擋板上的點(diǎn)從N點(diǎn)逐漸下移；當(dāng)粒子剛好通過(guò)P點(diǎn)時(shí)，粒子開始打在擋板的右側(cè)，設(shè)此時(shí)打在擋板上的點(diǎn)為M，如圖1所示，在OPM中，由幾何關(guān)系可得： 所以 ；

當(dāng)夾角θ繼續(xù)增大，則粒子打在擋板上的點(diǎn)從M點(diǎn)逐漸下移至P點(diǎn)，由以上分析知道，擋板長(zhǎng)度至少等于時(shí)，擋板吸收的粒子數(shù)最多；

（2）由以上分析知，當(dāng)粒子恰好從左側(cè)打在P點(diǎn)時(shí)，時(shí)間最短，如圖2軌跡1所示，由幾何知識(shí)得粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為 ；當(dāng)粒子從右側(cè)恰好打在P點(diǎn)時(shí)，時(shí)間最長(zhǎng)，如軌跡2所示，由幾何知識(shí)得粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為

粒子的運(yùn)動(dòng)周期

沿軌跡1的時(shí)間

沿軌跡2的時(shí)間

最長(zhǎng)的時(shí)間差

（3）粒子出射方向水平向右的粒子和沿軌跡2的粒子速度方向之間都能打在板上粒子方向的夾角為 打到板上的粒子占所有粒子的比率為： 解得：