Question

6．利用所學(xué)物理知識解答以下問題：
（1）長度為L輕桿頂端固定質(zhì)量m小球，在豎直面內(nèi)繞輕桿另一端做圓周運(yùn)動(dòng)，你怎樣能判定出在最高點(diǎn)小球受到桿的力是支持力還是拉力？
（2）若（1）題將輕桿換成長度為L輕繩，小球m在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)
①要使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，從受力角度分析，臨界條件是什么？
②從運(yùn)動(dòng)和力角度分析小球從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)做完整圓周運(yùn)動(dòng)過程中速率不斷增大的原因．
③若小球除了受到重力之外還始終受到一個(gè)與圓周面平行的豎直向下的恒力F作用，且恒力大小與重力相等，計(jì)算小球運(yùn)動(dòng)的最小速度．

Answer 1

分析 （1）小球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)，小球受到的重力和桿對它的作用力的合力提供向心力；寫出動(dòng)力學(xué)方程，即可求得桿對小球的作用力的大小，并判斷出力的方向．
（2）①小球在最高點(diǎn)時(shí)受重力和繩子的拉力，分析受力，結(jié)合牛頓第二定律得出臨界條件即可；
②向下運(yùn)動(dòng)的過程中重力做功由此分析即可；
③小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)，重力和向下的力F恰好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求出最高點(diǎn)的臨界速度．

解答 解：（1）小球恰好過最高點(diǎn)時(shí)重力提供向心力，桿對小球的作用力是0，此時(shí)：
mg=$\frac{m{v}^{2}}{L}$
所以：v=$\sqrt{gL}$
若球的速度增大，則需要的向心力增大，小球受到桿對它的作用力的方向向下是拉力；若小球的速度減小，則小球需要的向心力減小，則桿對小球的作用力是支持力．
所以要判定出在最高點(diǎn)小球受到桿的力是支持力還是拉力，看小球的速度是大于$\sqrt{gL}$，還是小于$\sqrt{gL}$．若大于$\sqrt{gL}$，則受到拉力作用，若小于$\sqrt{gL}$，則受到支持力的作用．
（2）①小球在最高點(diǎn)時(shí)受重力和繩子的拉力，它們的合力提供向心力，則：
$T+mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{L}$
可知小球的速度越小則繩子的拉力越小，當(dāng)繩子的拉力恰好等于0時(shí)，小球的速度最小，小球剛好能通過最高點(diǎn)．
所以從受力的角度來說，小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是恰好由重力來提供向心力．
②小球從最高點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)的過程中，繩子的拉力不做功，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可知，合外力對小球做正功則小球的動(dòng)能增大，速率增大；
③由題，小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)，重力和向下的力F恰好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可知，小球通過最高點(diǎn)的臨界速度滿足：
$F+mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{L}$
所以：${v}_{1}=\sqrt{gL+\frac{FL}{m}}$
結(jié)合②的分析可知，小球從最高點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)的過程中的速率增大，所以小球運(yùn)動(dòng)的最小速度是$\sqrt{gL+\frac{FL}{m}}$．
答：（1）長度為L輕桿頂端固定質(zhì)量m小球，在豎直面內(nèi)繞輕桿另一端做圓周運(yùn)動(dòng)，若小球的速度大于$\sqrt{gL}$，則受到拉力作用，若小于$\sqrt{gL}$，則受到支持力的作用．
（2）①從受力角度分析，小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是恰好由重力來提供向心力；
②小球從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)做完整圓周運(yùn)動(dòng)過程中速率不斷增大的原因是小球從最高點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)的過程中，重力對小球做正功．
③若小球除了受到重力之外還始終受到一個(gè)與圓周面平行的豎直向下的恒力F作用，且恒力大小與重力相等，小球運(yùn)動(dòng)的最小速度$\sqrt{gL+\frac{FL}{m}}$．

點(diǎn)評 小球在最高點(diǎn)時(shí)，要注意繩子與桿的區(qū)別：繩子只能提供拉力；桿提供的了可能是拉力，也可能是支持力．假設(shè)法是常用的解法．