Question

木星至少有16顆衛(wèi)星，1610年1月7日伽利略用望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了其中的4顆．這4顆衛(wèi)星被命名為木衛(wèi)1、木衛(wèi)2、木衛(wèi)3和木衛(wèi)4．他的這個發(fā)現(xiàn)對于打破“地心說”提供了重要的依據(jù)．
（1）若將木衛(wèi)1、木衛(wèi)2繞木星的運動看作勻速圓周運動，則木衛(wèi)2的平均軌道半徑大于木衛(wèi)1的平均軌道半徑．試比較木衛(wèi)1和木衛(wèi)2誰的向心加速度大？（請寫出必要的推導(dǎo)過程和運算結(jié)果，簡要說明理由）
（2）已知木衛(wèi)1繞木星運行的平均軌道半徑為R₁，木星的半徑為R₂，木星表面上的重力加速度為g，若不考慮木星的自轉(zhuǎn)的影響，則可由以上三個量計算出木衛(wèi)1繞木星運行的線速度．請寫出運行過程和運算結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）研究衛(wèi)星繞木星表面做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供圓周運動所需的向心力，列出等式表示出向心加速度，已知木衛(wèi)2的軌道半徑大于木衛(wèi)1的軌道半徑；
（2）根據(jù)萬有引力公式求出木衛(wèi)1繞木星運動的線速度的表達式，再結(jié)合木星的黃金代換式即可求解．

解答：解：（1）設(shè)木星的質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星的軌道半徑為R，則有G

Mm

R2

=ma①
∴a=

GM

R2

②
由于木衛(wèi)1的軌道半徑小于木衛(wèi)2的軌道半徑，所以木衛(wèi)1的向心加速度大于木衛(wèi)2的向心加速度．
（2）設(shè)木星的質(zhì)量為M，木衛(wèi)1繞木星運動的線速度為v，木衛(wèi)1的質(zhì)量為m，則有m

v2

R1

=G

Mm

R 2 1

③
∴v=

GM R1

④
設(shè)木星表面一個物體的質(zhì)量為m′，則有m′g=G

Mm′

R 2 2

⑤
∴g

R

2 2

=GM⑥
⑥式代入④式可得v=R2

g R1

答：（1）木衛(wèi)1的向心加速度大于木衛(wèi)2的向心加速度；
（2）木衛(wèi)1繞木星運行的線速度為R2

g R1

．

點評：要比較一個物理量大小，我們應(yīng)該把這個物理量先表示出來，在進行比較，向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．