Question

【題目】如圖1所示，輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2L，將彈簧豎直放置在水平地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)．現(xiàn)將該彈簧水平放置（如圖2所示，彈簧圖略縮小），一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長(zhǎng)度為5L的水平軌道，B端與半徑為L(zhǎng)的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD在豎直方向上，如圖所示．物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度為L(zhǎng)處，然后釋放P，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．

（1）求當(dāng)彈簧壓縮至長(zhǎng)度為三時(shí)的彈性勢(shì)能Ep；
（2）若P的質(zhì)量為m，求物體離開圓軌道后落至AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離s；
（3）為使物塊P滑上圓軌道后又能沿圓軌道滑回，求物塊P的質(zhì)量取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由機(jī)械能守恒定律知，彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為EP，

所以有：EP=5mgL

（2）

解：設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB，由能量守恒定律得：EP= mvB2+μmg（5L﹣L）

代入數(shù)據(jù)解得：vB=

設(shè)P滑到D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，由機(jī)械能守恒定律得： mvB2= mvD2+2mgL

解得：vD=

物體從D點(diǎn)以速度vD水平射出，設(shè)P落回到軌道AB所需時(shí)間為t

豎直方向上：2L= gt2

水平方向上：s=vDt

聯(lián)立解得：s=2

（3）

解：設(shè)P的質(zhì)量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于0，

則有：5mgL＞4μMgL

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點(diǎn)C，

則有： MvB2≤MgL

由能量關(guān)系有：EP= MvB2+4μMgL

解得： m≤M≤ m

【解析】（1）先研究彈簧豎直的情況，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧最大的彈性勢(shì)能；（2）彈簧如圖放置時(shí)，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時(shí)的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢(shì)能相等．由能量守恒定律求出物體P滑到B點(diǎn)時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出物體P到達(dá)D點(diǎn)的速度．物體P離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求水平距離；（3）根據(jù)能量守恒定律列式和臨界條件求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了機(jī)械能守恒及其條件的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動(dòng)能和重力勢(shì)能（及彈性勢(shì)能）發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變才能正確解答此題．