Question

（2011?蚌埠模擬）如圖所示，真空室內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=0.60T．磁場(chǎng)內(nèi)有一塊足夠大的平面感光平板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行．在板下方到極的距離為L(zhǎng)=10cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源S．它僅在紙平面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射α粒子．每個(gè)α粒子的速度大小都是v=6.0×l0⁶m/s．且粒子打到感光板最左端和最右端的位置分別為Pl、P2．已知α粒子的比荷q/m=5.0×10⁷C/kg．磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．
（1）我們知道α粒子在該磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試證明勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度大小的表達(dá)式為a=

V2

R

，其中R為圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．v為圓周運(yùn)動(dòng)的線速度．
（2）求P_l、P₂的距離．

Answer 1

分析：（1）α粒子在該磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)證明．
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得粒子的半徑，則根據(jù)幾何關(guān)系可求得ab上被打中的區(qū)域的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）取圓周上A、B兩點(diǎn)，作出線速度方向如圖，根據(jù)三角形相似可知，

△v

AB

=

vA

R

，當(dāng)時(shí)間△t→0時(shí)，AB≈

AB

，而

AB

=Rθ
得，△v=

Rθv

R

=θv．則加速度為a=

△v

△t

=

θv

△t

=ωv，又v=ωR，得到a=

v2

R

．
（2）α粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
用R表示軌道半徑，有qvB=m

v2

R

①
由此得R=

mv

qB

=

v

q m B

  代入數(shù)值得R=20cm
因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P₁就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)．為定出P₁點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P₁．NP₁=

R2-(R-L)2

=10

3

cm．②
再考慮N的右側(cè)．任何α粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P₂點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)．
由圖中幾何關(guān)系得NP₂=

(2R)2-L2

=10

15

cm  ③
所求長(zhǎng)度為 P₁P₂=NP₁+NP₂④
代入數(shù)值得P₁P₂=10（

3

+

15

）cm
答：（1）證明見上．
（2）P_l、P₂的距離是10（

3

+

15

）cm．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)解題的關(guān)鍵在于確定圓心和半徑，然后再由幾何關(guān)系即可求得要求的問題．