Question

【題目】如圖所示的半圓形軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動(dòng)．彈射裝置將一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從a點(diǎn)水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)c拋出。已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計(jì)其他機(jī)械能損失，ab段長(zhǎng)L＝3m，圓的半徑R＝0.1m，小球質(zhì)量m＝0.01kg，軌道質(zhì)量為M＝0.19kg，g取10m/s2，求：

(1)若v0＝5m/s，小球從最高點(diǎn)c拋出后的水平射程．

(2)若v0＝5m/s，小球經(jīng)過軌道的最高點(diǎn)c時(shí)，管道對(duì)小球作用力的大小和方向．

(3)設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)v0至少為多少時(shí)，小球經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為零．

Answer 1

【答案】（1）0.6m.（2）0.8N，方向豎直向下．（3）6m/s.

【解析】(1)設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為v，由動(dòng)能定理，得

－μmgL－mg2R＝mv2－mv02①

小球由c點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，有2R＝gt2②

x＝vt③

聯(lián)立①②③并代入數(shù)值，解得小球從最高點(diǎn)c拋出后的水平射程：x＝0.6m.

(2)當(dāng)小球通過c點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得

FN＋mg＝m

代入數(shù)值解得管道對(duì)小球作用力FN＝0.8N，方向豎直向下．

(3)設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為vc，由動(dòng)能定理，得

－μmgL－mg2R＝mvc2－mv02④

當(dāng)小球通過c點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得

FN′＋mg＝m⑤

要使軌道對(duì)地面的壓力為零，則有FN′＝Mg⑥

聯(lián)立④⑤⑥并代入數(shù)值，解得v0＝6m/s.