Question

19．小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛離水平距離d后落地，如圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為$\frac{3}{4}$d，重力加速度為g．忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．求：
（1）繩斷時(shí)小球速度的大小；
（2）繩斷前瞬間繩對小球拉力的大小；
（3）小球落地時(shí)速度的大小；
（4）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)．若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求解繩斷時(shí)球的速度大小v₁．
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小．根據(jù)向心力公式即可求解；
（3）繩子斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律可以求出小球落地時(shí)的速度大小v．
（4）設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₂，繩承受的最大推力不變，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)即可解題．

解答 解：（1）根據(jù)$d-\frac{3}{4}d=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frack4qjngg{2g}}$，
則繩斷時(shí)小球速度大小${v}_{1}=\fracnk00shz{t}=\sqrt{2gd}$．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得，$F-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{\frac{3d}{4}}$，
解得F=$\frac{11}{3}mg$．
（3）小球落地時(shí)豎直分速度${v}_{y}=gt=\sqrt{\frac{gd}{2}}$，小球落地時(shí)速度大小v=$\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{2gd+\frac{gd}{2}}=\sqrt{\frac{5gd}{2}}$．
（4）設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₃，繩承受的最大拉力不變，
由牛頓第二定律得：F-mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$，解得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{8gl}{3}}$，
繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d-l，水平位移為x，
豎直方向：d-l=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，水平方向：x=v₂t′，
解得：x=4$\sqrt{\frac{l（d-l）}{3}}$，
當(dāng)l=$\fractxgjpbg{2}$時(shí)，x有極大值，最大值：x_max=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$．
答：（1）繩斷時(shí)小球速度的大小為$\sqrt{2gd}$；
（2）繩斷前瞬間繩對小球拉力的大小為$\frac{11mg}{3}$；
（3）小球落地時(shí)速度的大小$\sqrt{\frac{5gd}{2}}$；
（4）若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為$\fracdby4zpb{2}$，最大水平距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律的應(yīng)用，并能結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)解題．