Question

12．為了解決高樓救險中云梯高度不夠高的問題，可在消防云梯上再伸出輕便的滑桿．被困人員使用安全帶上的掛鉤掛在滑桿上、沿滑桿下滑到消防云梯上逃生．通�；瑮U由AO、OB兩段直桿通過光滑轉(zhuǎn)軸在O處連接，滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，且可繞固定物自由轉(zhuǎn)動，B端用鉸鏈固定在云梯上端，且可繞鉸鏈自由轉(zhuǎn)動，以便調(diào)節(jié)被困人員滑到云梯頂端的速度大�。�設(shè)被困人員在調(diào)整好后的滑桿上下滑時滑桿與豎直方向的夾角保持不變，被困人員可看作質(zhì)點(diǎn)、不計(jì)過O點(diǎn)時的機(jī)械能損失．已知AO長L₁=6m、OB長L₂=12m．某次消防演練中測得AO與豎直方向的夾角α=37°，OB與豎直方向的夾角β=53°，被困人員安全帶上的掛鉤與滑桿AO、OB間的動摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{5}{6}$．為了安全，被困人員到達(dá)云梯頂端B點(diǎn)速度不能超過v_m=6m/s．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）被困人員滑到B點(diǎn)時是否安全．
（2）若云梯頂端B點(diǎn)與豎直墻間的水平距離d=13.2m保持不變，能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離H（結(jié)果可用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）對OA由幾何關(guān)系可求得夾角，對人受力分析由牛頓第二定律可求得加速度的大小及方向；
再運(yùn)用運(yùn)用學(xué)公式求得被困人員到達(dá)云梯頂端B點(diǎn)速度，去進(jìn)行比較．
（2）對全程由動能定理可得出重力及摩擦力做功與動能的關(guān)系，由幾何關(guān)系可求得最大距離．

解答 解：（1）
對人受力分析，由牛頓第二定律得：
mgcosα-μmgsinα=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=3m/s²
根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式得：V₀²=2a₁L₁
V₀=6m/s
mgcosβ-μmgsinβ=ma₂
a₂=-$\frac{2}{3}$m/s²
V_B²-V₀²=2（-a₂）L₂
v_B=2$\sqrt{5}$m/s，
因V_B≤6m/s，被困人員能安全到達(dá)云梯頂端B點(diǎn)．
（2）（2）設(shè)滑桿兩端點(diǎn)AB的最大豎直距離為h，被困人員滑到B點(diǎn)時速度為v′，對被困人員下滑全過程由動能定理有：
$mgh-μmgsinα'•{L_1}-μmgsinβ'•{L_2}=\frac{1}{2}m{v'^2}$…④
L₁sinα'+L₂sinβ'=d=L₁sinα+L₂sinβ…⑤
v'≤v_m…⑥
設(shè)兩桿伸直時AB間的豎直高度為h′，則：$h'=\sqrt{{{（{L_1}+{L_2}）}^2}-{d^2}}$…⑦
聯(lián)解④⑤⑥⑦代入數(shù)據(jù)得：h≤12.8m…⑧
$h'=\sqrt{149.76}m$…⑨
所以能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離應(yīng)為$H=\sqrt{149.76}m$．…⑩
答：（1）現(xiàn)測得OB與豎直方向的夾角為53°，AO與豎直方向的夾角是37°，被困人員滑到B點(diǎn)是安全的．
（2）若云梯頂端B點(diǎn)與豎直墻間的水平距離保持不變，能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離是$\sqrt{149.76}$m．．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)在于對幾何關(guān)系的認(rèn)識，要注意找出題目中的臨界條件，再結(jié)合能量關(guān)系即可求出所要求的量來．