Question

如圖甲所示是游樂場(chǎng)中過山車的實(shí)物圖片，圖乙是過山車的部分模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=8.0m，該光滑圓形軌道與傾角為α=37°斜軌道面上的Q點(diǎn)相切并固定，圓形軌道的最高點(diǎn)A與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=1/24，m=10kg．不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)A處，問：

（1）小車在A點(diǎn)的速度為多大？
（2）小車在圓形軌道的最低點(diǎn)B時(shí)，軌道對(duì)小車的支持力多大？
（3）小車在P點(diǎn)的初速度為多大？

Answer 1

分析：（1）小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)A處，知軌道對(duì)小車的彈力為零，重力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小車在A點(diǎn)的速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小車在軌道B點(diǎn)是的速度，再運(yùn)用牛頓第二定律，通過支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力與重力的關(guān)系．
（3）對(duì)P到A全過程運(yùn)用動(dòng)能定理，重力做功為零，根據(jù)幾何關(guān)系求出在斜面上的位移，通過動(dòng)能定理求出初速度的大小．

解答：解（1）小車經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的臨界速度為v_A，
mg=m

v 2 A

R

，
解得：v_A=

gR

=

10×8

=4

5

m/s；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，

1

2

mv_B²-

1

2

mv_A²=mg?2R，
由牛頓第二定律得，F(xiàn)_B-mg=m

v 2 B

R

，
解得：F_B=6mg=600N；
（3）設(shè)Q點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為h，PQ間距離為L(zhǎng)，L=

R(1+cosα)

sinα

．
P到A對(duì)小車，由動(dòng)能定理得：μmgcosα?L=

1

2

mv_A²-

1

2

mv₀²，
解得：v₀=4

6

m/s．
解：（1）小車在A點(diǎn)的速度為4

5

m/s．
（2）軌道對(duì)小車的支持力壓力為600N．
（3）小車在P點(diǎn)的初速度為4

6

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)的過程，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解．