Question

4．己知地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r．則在地球表面和月球表面的重力加速度之比為$\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$，地球和月球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力表示出g，再求出比值；第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，也是最大的圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)繞速度．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=\frac{G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}}{G\frac{m}{{r}_{\;}^{2}}}=\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$
第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，即$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\frac{{v}_{地}^{\;}}{{v}_{月}^{\;}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{Gm}{r}}}$=$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$
故答案為：$\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$，$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是知道第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，在任意一個(gè)星球表面物體重力等于萬(wàn)有引力即可求解星球表面的重力加速度．