Question

15．如圖所示，在xOy豎直平面內(nèi)，長L的絕緣輕繩一端固定在第一象限的P點(diǎn)，另一端栓有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球，OP距離也為L且與x軸的夾角為60°．在x軸上方有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$，在x軸下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{mg}{q}$，過O和P兩點(diǎn)的虛線右側(cè)存在方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．小球置于y軸上的C點(diǎn)時(shí)，繩恰好伸直且與y軸夾角為30°，小球由靜止釋放后將沿CD方向做直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)繩恰好繃緊，小球沿繩方向的分速度立即變?yōu)榱悖�并以垂直于繩方向的分速度擺下，到達(dá)O點(diǎn)時(shí)將繩斷開．不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球剛釋放瞬間的加速度大小a；
（2）小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小v；
（3）小球從O點(diǎn)開始到最終離開x軸的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）求出粒子受到的合力，然后由牛頓第二定律求出加速度；
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與動(dòng)能定理可以求出粒子的速度；
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、圓周運(yùn)動(dòng)周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）如圖所示，小球由靜止釋放時(shí)，所受重力和電場(chǎng)力的合力大小為：${F}_{合}=\sqrt{{{F}_{電}}^{2}+（mg）^{2}}$，
根據(jù)牛頓第二定律有：F_合=ma，
解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}g$．
（2）設(shè)小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
${{v}_{0}}^{2}=2aL$，
垂直于繩方向的分速度為：v₁=v₀cos30°，
解得：v₁=$\sqrt{\sqrt{3}gL}$．
從D點(diǎn)到O點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：
mgLcos30°-qE₁L（1-sin30°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{5\sqrt{3}gL}{3}}$．
（3）因?yàn)閝E₂=mg，小球從O點(diǎn)以v垂直于虛線進(jìn)入磁場(chǎng)將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
得半徑為：r=$\frac{mv}{qB}$，
周期為：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$．
小球進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{2}$圓周后又垂直于虛線射出磁場(chǎng)，以v做勻速直線運(yùn)動(dòng)第一次打在x軸上，勻速直線運(yùn)動(dòng)的距離為：$d=2rtan60°=2\sqrt{3}r$，
${t}_{1}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$，
${t}_{2}=\fracqief6st{v}=\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$，
小球再進(jìn)入電場(chǎng)E₁后，小球所受重力和電場(chǎng)力的合力垂直于v，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，
$\frac{\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}}{v{t}_{3}}=tan30°$，
解得：${t}_{3}=\sqrt{（\frac{5\sqrt{3}}{3}）\frac{L}{g}}$．
則有：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（π+2\sqrt{3}）m}{qB}+\sqrt{（\frac{5\sqrt{3}}{3}）\frac{L}{g}}$．
答：（1）小球剛釋放瞬間的加速度大小a為$\frac{2\sqrt{3}}{3}g$；
（2）小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小v為$\sqrt{\frac{5\sqrt{3}gL}{3}}$．；
（3）小球從O點(diǎn)開始到最終離開x軸的時(shí)間t為$\frac{（π+2\sqrt{3}）m}{qB}+\sqrt{（\frac{5\sqrt{3}}{3}）\frac{L}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理、運(yùn)動(dòng)的合成與分解即可正確解題．