Question

12．兩個天體（包括人造天體）間存在萬有引力，并具有由相對位置決定的勢能．如果兩個天體的質(zhì)量分別為m₁和m₂，當它們相距無窮遠時勢能為零，則它們距離為r時，引力勢能為E_P=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$．發(fā)射地球同步衛(wèi)星一般是把它先送入較低的圓形軌道，如圖中Ⅰ，再經(jīng)過兩次“點火”，即先在圖中a點處啟動燃氣發(fā)動機，向后噴出高壓燃氣，衛(wèi)星得到加速，進入圖中的橢圓軌道Ⅱ，在軌道Ⅱ的遠地點b處第二次“點火”，衛(wèi)星再次被加速，此后，沿圖中的圓形軌道Ⅲ（即同步軌道）運動．設(shè)某同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球半徑為R，軌道Ⅰ距地面非常近，軌道Ⅲ距地面的距離近似為6R，地面處的重力加速度為g，并且每次點火經(jīng)歷的時間都很短，點火過程中衛(wèi)星的質(zhì)量減少可以忽略．求：
（1）從軌道Ⅰ轉(zhuǎn)移到軌道Ⅲ的過程中，合力對衛(wèi)星所做的總功是多大？
（2）兩次“點火”過程中燃氣對衛(wèi)星所做的總功是多少？

Answer 1

分析 衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ做圓運動，根據(jù)萬有引力提供向心力表示出速度，運用動能定理求解合力對衛(wèi)星所做的總功；
表示出衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上的動能和勢能，根據(jù)能量守恒進行求解．

解答 解：（1）衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ做圓運動，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
所以有：E_k1=$\frac{1}{2}$mV₁²=$\frac{1}{2}$mgR
$\frac{GMm}{{（7R）}^{2}}$=m$\frac{{v}_{2}^{3}}{7R}$
所以有：E_k2=$\frac{1}{2}$mV₂²=$\frac{mgR}{14}$
運用動能定理得合力的功為：
W=E_k2-E_k1=mgR（$\frac{1}{14}$-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3mgR}{7}$                     
（2）衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的勢能為：E_P1=-$\frac{GMm}{R}$=-mgR                            
衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的勢能為：E_P2=-$\frac{GMm}{7R}$=-$\frac{mgR}{7}$                             
燃氣所做的總功為：
W′=（ E_P2+E_k2）-（E_P1+E_k1）=（-$\frac{mgR}{7}$+$\frac{mgR}{14}$）-（-mgR+$\frac{1}{2}$mgR）=$\frac{3mgR}{7}$       
答：（1）從軌道Ⅰ轉(zhuǎn)移到軌道Ⅲ的過程中，合力對衛(wèi)星所做的總功是-$\frac{3mgR}{7}$    
（2）兩次“點火”過程中燃氣對衛(wèi)星所做的總功是$\frac{3mgR}{7}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵得出衛(wèi)星動能和勢能的變化量，從而根據(jù)動能定理和能量守恒進行求解．