Question

16．如圖所示，在軸上方存在垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，可向x軸和x軸上方的各個(gè)方向不斷地發(fā)射速度大小均為v；質(zhì)量為m、帶電量為+q的同種帶電粒子．在x軸上距離原點(diǎn)x₀處垂直于x軸放置一個(gè)長度為x₀．厚度不計(jì)、能接收帶電粒子的薄金屬板P（粒子一旦打在金屬板P上，其速度立即變?yōu)?）．現(xiàn)觀察到沿r軸負(fù)方向射出的粒子恰好打在薄金屬板的上端，且速度方向與y軸平行．不計(jì)帶電粒子的重力和粒子間相互作用力．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）求被薄金屬板接收的粒子中運(yùn)動(dòng)的最長與最短時(shí)間的差值；
（3）若在y軸上另放置一能接收帶電粒子的擋板，使薄金屬板P右側(cè)不能接收到帶電粒子，試確定擋板的最小長度和放置的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“沿x軸負(fù)方向射出的粒子恰好打在薄金屬板的上端，且速度方向與y軸平行”畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，寫出洛倫茲力提供向心力的方程，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與偏轉(zhuǎn)的角度之間的關(guān)系，判斷出被薄金屬板接收的粒子中運(yùn)動(dòng)的最長與最短時(shí)間，求出表達(dá)式，然后求解兩個(gè)時(shí)間的差；
（3）作圖，得出使薄金屬板右側(cè)不能接收到帶電粒子的擋板的最小長度和放置的位置，通過幾何關(guān)系，得出擋板的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意，“沿x軸負(fù)方向射出的粒子恰好打在薄金屬板的上端，且速度方向與y軸平行”的粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲，由圖a可得，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：R=x₀
由洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：$B=\frac{mv}{q{x}_{0}}$．
（2）帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為T，則有：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2π{x}_{0}}{v}$，
圖b為帶電粒子打在薄金屬板左側(cè)面的兩個(gè)臨界點(diǎn)，由圖可知，圓心O′與坐標(biāo)原點(diǎn)和薄金屬板上結(jié)構(gòu)成正時(shí)那就行，因此帶電粒子速度方向與x正方向成30°，由圖b可知，到達(dá)薄金屬板左側(cè)下端的粒子用時(shí)最短，即：${t}_{min}=\frac{T}{6}=\frac{π{x}_{0}}{3v}$，
圖c為打在右側(cè)下端的臨界點(diǎn)，由圖可知，圓心O′與坐標(biāo)原點(diǎn)和薄金屬板下端構(gòu)成正三角形，因此帶電粒子速度方向與x正方向成150°角，由圖a、c可知，到達(dá)薄金屬板右側(cè)下端的粒子用時(shí)最長，即：${t}_{max}=\frac{5}{6}T=\frac{5π{x}_{0}}{3v}$
則被薄金屬板接收的粒子中運(yùn)動(dòng)最長與最短時(shí)間的差距為：△t=t_max-t_min，
解得：△t=$\frac{4π{x}_{0}}{3v}$．
（3）由圖a可知，擋板上端的坐標(biāo)為（0，2x₀），
由圖c可知，擋板下端y坐標(biāo)為：$y=2{x}_{0}cos30°=\sqrt{3}{x}_{0}$，
下端坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}{x}_{0}$）．
所以擋板最小長度為l=$2{x}_{0}-\sqrt{3}{x}_{0}$=（2-$\sqrt{3}）$x₀．
放置的位置坐標(biāo)為：$\sqrt{3}{x}_{0}≤y≤2{x}_{0}$．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{mv}{q{x}_{0}}$；
（2）被薄金屬板接收的粒子中運(yùn)動(dòng)的最長與最短時(shí)間的差值為$\frac{4π{x}_{0}}{3v}$；
（3）擋板的最小長度為（2-$\sqrt{3}）$x₀，放置的位置坐標(biāo)：$\sqrt{3}{x}_{0}≤y≤2{x}_{0}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．