Question

【題目】如圖所示，在紙面內(nèi)有一絕緣材料制成的等邊三角形框架DEF區(qū)域外足夠大的空間中充滿(mǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向垂直于紙面向里。等邊三角形框架DEF的邊長(zhǎng)為L，在三角形DEF內(nèi)放置平行板電容器MN，N板緊靠DE邊，M板及DE中點(diǎn)S處均開(kāi)有小孔，在兩板間緊靠M板處有一質(zhì)量為m，電量為q(q>0)的帶電粒子由靜止釋放，如圖(a)所示。若該粒子與三角形框架碰撞時(shí)均無(wú)能量損失，且每一次碰撞時(shí)速度方向垂直于被碰的邊。不計(jì)粒子的重力。

(1)若帶電粒子能夠打到E點(diǎn)，求MN板間的最大電壓；

(2)為使從S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，求帶電粒子從S點(diǎn)發(fā)出時(shí)的速率v應(yīng)為多大？最短時(shí)間為多少？

(3)若磁場(chǎng)是半徑為Ⅱ的圓柱形區(qū)域，如圖(b)所示（圖中圓為其橫截面），圓柱的軸線通過(guò)等邊三角形的中心O，且.要使從S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終能回到S點(diǎn)，帶電粒子速度v的大小應(yīng)為多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) ,

(3)

【解析】（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：

粒子要經(jīng)過(guò)一次偏轉(zhuǎn)垂直打在E點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足： ，

則E點(diǎn)的速度為

帶電粒子在板間加速，則

解得：

（2）依題意粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑， （n=1，2，3…）
在磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的速度 n=1，2，3…）
周期： ，與粒子速度無(wú)關(guān)，由粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間

得，粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最小時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短
此時(shí)n取1，
解得：
粒子以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心運(yùn)動(dòng)，相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔為
第三次碰撞回到S點(diǎn)，則最短時(shí)間為 ；
（3）如圖設(shè)E點(diǎn)到磁場(chǎng)區(qū)域邊界的距離為L(zhǎng)/,由題設(shè)條件可知

S點(diǎn)發(fā)射的粒子要回到S點(diǎn)就必須在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即滿(mǎn)足： ，即

又知， （n=1，2，3，4，5，6…，）
當(dāng)n=1時(shí)，

當(dāng)n=2時(shí)，

當(dāng)n=3時(shí)，

當(dāng)n=4時(shí)，

所以，當(dāng)n=3,4,5，……時(shí)滿(mǎn)足題意；由于 ，代入上式可知

解得： （n=3,4,5，……）