Question

7．如圖所示為“中國(guó)月球探測(cè)工程”的想象標(biāo)志，它以中國(guó)書法的筆觸，勾勒出一輪明月和一雙踏在其上的腳印，象征著月球探測(cè)的終極夢(mèng)想．一位勤于思考的同學(xué)，為探月宇航員設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：
在距月球表面高h(yuǎn)處以初速度v₀水平拋出一個(gè)物體，然后測(cè)量該平拋物體的水平位移為x．通過查閱資料知道月球的半徑為R，引力常量為G，若物體只受月球引力的作用，請(qǐng)你求出：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的密度ρ；
（3）環(huán)繞月球表面的宇宙飛船的運(yùn)行速率v₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出月球表面的重力加速度，結(jié)合萬有引力等于重力求出月球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)月球的質(zhì)量和體積求出月球的密度．
（3）根據(jù)重力提供向心力求出環(huán)繞月球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大�。�

解答 解：（1）設(shè)月球表面的重力加速度為g_月，對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向有：x=v₀t
豎直方向有：$h=\frac{1}{2}{g_月}{t^2}$
月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，有：$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_月}$
解得：$M=\frac{{2hv_0^2{R^2}}}{{G{x^2}}}$．
（2）月球的質(zhì)量為：$M=ρ•\frac{4}{3}π{R^3}$
可得密度：$ρ=\frac{3hv_0^2}{{2πGR{x^2}}}$
（3）環(huán)繞月球表面的宇宙飛船，有：$m{g_月}=m\frac{v_1^2}{R}$
可得：${v_1}=\frac{v_0}{x}\sqrt{2hR}$．
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{x}^{2}}$；
（2）月球的密度ρ為$\frac{3h{{v}_{0}}^{2}}{2πGR{x}^{2}}$；
（3）環(huán)繞月球表面的宇宙飛船的運(yùn)行速率為$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，通過平拋運(yùn)動(dòng)求出重力加速度是解決本題的關(guān)鍵，掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力這兩個(gè)重要理論，并能靈活運(yùn)用．