Question

（2007?浙江）如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛．現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點與金屬球發(fā)生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場．已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c處．求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°．

Answer 1

分析：先根據(jù)機械能守恒定律求出小球返回最低點的速度，然后根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，對速度表達式分析，求出碰撞n次后的速度表達式，再根據(jù)機械能守恒定律求出碰撞n次后反彈的最大角度，結(jié)合題意討論即可．

解答：解：設(shè)小球m的擺線長度為l
小球m在下落過程中與M相碰之前滿足機械能守恒：mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02①
m和M碰撞過程是彈性碰撞，故滿足：
mv₀=MV_M+mv₁ ②

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2  ③
聯(lián)立 ②③得：v1=

m-M

m+M

v0  ④
說明小球被反彈，且v₁與v₀成正比，而后小球又以反彈速度和小球M再次發(fā)生彈性碰撞，滿足：
mv₁=MV_M1+mv₂ ⑤

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12⑥
解得：
v2=

m-M

m+M

|v1| ⑦
整理得：
v2=-(

m-M

m+M

)2v0⑧
故可以得到發(fā)生n次碰撞后的速度：
vn=|(

m-M

m+M

)nv0|⑨
而偏離方向為45⁰的臨界速度滿足：
mgl(1-cos450)=

1

2

mv臨界2⑩
聯(lián)立①⑨⑩代入數(shù)據(jù)解得，當(dāng)n=2時，v₂＞v_臨界
當(dāng)n=3時，v₃＜v_臨界
即發(fā)生3次碰撞后小球返回到最高點時與豎直方向的夾角將小于45°．

點評：本題關(guān)鍵求出第一次反彈后的速度和反彈后細線與懸掛點的連線與豎直方向的最大角度，然后對結(jié)果表達式進行討論，得到第n次反彈后的速度和最大角度，再結(jié)合題意求解．