Question

16．如圖所示，一小車上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圓弧軌道BCD組成，小車緊靠臺(tái)階靜止在光滑水平地面上，且左端與粗糙水平臺(tái)等高．水平臺(tái)與物塊P間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，水平臺(tái)上有一彈簧，彈簧左端固定，彈簧右端與一個(gè)質(zhì)量為m1=5kg的小物塊接觸但不固定，此時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)并鎖定，彈簧的彈性勢(shì)能EP=100J．現(xiàn)解除彈簧的鎖定，小物塊P從M點(diǎn)出發(fā)，MN間的距離為d=lm．物塊P到N點(diǎn)后與靜止在小車左端的質(zhì)量為m2=lkg的小物塊Q（可視為質(zhì)點(diǎn)）發(fā)生彈性碰撞（碰后立即將小物塊P取走，使之不影響后續(xù)物體的運(yùn)動(dòng)）．已知AB長(zhǎng)為L(zhǎng)=10m，小車的質(zhì)量為M=3kg．取重力加速度g=10m/s²，

（1）求碰撞后瞬間物塊Q的速度大小，
（2）若物塊Q在半圓弧軌道BCD上經(jīng)過一次往返運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)過程中物塊始終不脫離軌道），最終停在小車水平部分AB的中點(diǎn)，求半圓弧軌道BCD的半徑至少多大？
（3）若小車上表面AB和半圓弧軌道BCD面均光滑，半圓弧軌道BCD的半徑為R=1.2m，物塊Q可以從半圓弧軌道BCD的最高點(diǎn)D飛出，求其再次落回小車時(shí)，落點(diǎn)與B點(diǎn)的距離S為多少？（結(jié)果可用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒求出物塊P被彈簧彈開后的速度，物塊P、Q發(fā)生彈性碰撞，結(jié)合動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求出碰撞后瞬間物塊Q的速度大�。�
（2）物塊Q和小車組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出共同的速度，根據(jù)能量守恒求出物塊Q與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)大小，對(duì)物塊Q到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)過程，運(yùn)用能量守恒求出半徑的臨界值．
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒能量守恒求出Q通過D點(diǎn)時(shí)，Q的速度和哀愁的速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，抓住物塊相對(duì)D點(diǎn)的速度，求出落點(diǎn)與B點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）物塊P被彈簧彈開運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)速度為v₁，由能量守恒得：
${E}_{p}=μmgd+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得v₁=6m/s．
物塊P、Q發(fā)生彈性碰撞，碰后P、Q的速度為v₁'、v₂，規(guī)定向右為正方向，
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂，
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁'=4m/s，v₂=10 m/s或v₁'=6m/s，v₂=0 （舍）．
（2）物塊Q從開始運(yùn)動(dòng)到與小車相對(duì)靜止過程，共同速度為v₃，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定向右為正方向，有：
m₂v₂=（m₂+M）v₃，
代入數(shù)據(jù)解得：v₃=2.5m/s，
系統(tǒng)能量守恒：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=μ{m}_{2}g•\frac{3}{2}L+\frac{1}{2}（{m}_{2}+M）{{v}_{3}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.25．
Q至C點(diǎn)與車共速時(shí)，半徑R最小，系統(tǒng)能量守恒，有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=μ{m}_{2}gL+{m}_{2}gR$$+\frac{1}{2}（{m}_{2}+M）{{v}_{3}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R=1.25m．
（3）設(shè)Q通過D點(diǎn)時(shí)，Q與小車的速度分別為v₄、v₅系統(tǒng)動(dòng)量、能量守恒，規(guī)定向右為正方向，
m₂v₂=m₂v₄+Mv₅，
$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{4}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{5}}^{2}+$m₂g•2R
解得：v₄=-2m/s，v₅=4 m/s或v₄=7m/s，v₅=1 m/s（舍）
物塊Q通過D點(diǎn)時(shí)相對(duì)小車的速度為：v₄′=6 m/s，
物塊Q再次落回小車時(shí)與物塊的距離為：s=${v}_{4}′\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：s=$\sqrt{\frac{12\sqrt{3}}{5}}m$．
答：（1）碰撞后瞬間物塊Q的速度大小為10m/s．
（2）半圓弧軌道BCD的半徑至少為1.25m．
（3）落點(diǎn)與B點(diǎn)的距離S為$\sqrt{\frac{12\sqrt{3}}{5}}m$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒、能量守恒的綜合運(yùn)用，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，知道彈性碰撞的過程中，動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，對(duì)于第二問，要抓住臨界情況，即到達(dá)圓弧最高點(diǎn)兩者具有相同速度，結(jié)合能量守恒進(jìn)行求解．